Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10495 / 2307
↖ ↑ ↗
← N 78.048346°
E 50.603027°		 ← 505.96 m → N 78.048346°
E 50.625000°		 →
↑
506.11 m
↓
↑
506.11 m
↓
N 78.043795°
E 50.603027°		 ← 506.15 m →
256 119 m²		 N 78.043795°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640594482421875 y=0.140838623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640594482421875 × 214)
    floor (0.640594482421875 × 16384)
    floor (10495.5)     		tx = 10495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140838623046875 × 214)
    floor (0.140838623046875 × 16384)
    floor (2307.5)     		ty = 2307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10495 / 2307 ti = "14/10495/2307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10495/2307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10495 ÷ 214
    10495 ÷ 16384     		x = 0.64056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2307 ÷ 214
    2307 ÷ 16384     		y = 0.14080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88318944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14080810546875 × 2 - 1) × π
    0.7183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25686923411224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88318944} λ = 0.88318944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25686923411224))-π/2
    2×atan(9.55313367438647)-π/2
    2×1.46649847151178-π/2
    2.93299694302356-1.57079632675     		φ = 1.36220062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88318944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36220062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.048346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10495 KachelY 2307 0.88318944 1.36220062 50.603027 78.048346
    Oben rechts KachelX + 1 10496 KachelY 2307 0.88357293 1.36220062 50.625000 78.048346
    Unten links KachelX 10495 KachelY + 1 2308 0.88318944 1.36212118 50.603027 78.043795
    Unten rechts KachelX + 1 10496 KachelY + 1 2308 0.88357293 1.36212118 50.625000 78.043795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36220062-1.36212118) × R
    7.94400000001527e-05 × 6371000     		dl = 506.112240000973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36220062-1.36212118) × R
    7.94400000001527e-05 × 6371000     		dr = 506.112240000973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(1.36220062) × R
    0.000383490000000042 × 0.20708625258405 × 6371000     		do = 505.956195119082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(1.36212118) × R
    0.000383490000000042 × 0.207163969884959 × 6371000     		du = 506.146075178102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36220062)-sin(1.36212118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20708625258405-0.207163969884959)×R²
    abs(0.88357293-0.88318944)×7.77173009088028e-05×R²
    0.000383490000000042×7.77173009088028e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.77173009088028e-05×40589641000000     		ar = 256118.673700535m²