Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10496 / 6399
↖ ↑ ↗
← N 36.615527°
E 50.625000°		 ← 1 961.11 m → N 36.615527°
E 50.646973°		 →
↑
1 961.31 m
↓
↑
1 961.31 m
↓
N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 1 961.56 m →
3 846 793 m²		 N 36.597889°
E 50.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640655517578125 y=0.390594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640655517578125 × 214)
    floor (0.640655517578125 × 16384)
    floor (10496.5)     		tx = 10496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390594482421875 × 214)
    floor (0.390594482421875 × 16384)
    floor (6399.5)     		ty = 6399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10496 / 6399 ti = "14/10496/6399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10496/6399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10496 ÷ 214
    10496 ÷ 16384     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6399 ÷ 214
    6399 ÷ 16384     		y = 0.39056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39056396484375 × 2 - 1) × π
    0.2188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.687606888150085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687606888150085))-π/2
    2×atan(1.98895005341256)-π/2
    2×1.10492892065056-π/2
    2.20985784130113-1.57079632675     		φ = 0.63906151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63906151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.615527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10496 KachelY 6399 0.88357293 0.63906151 50.625000 36.615527
    Oben rechts KachelX + 1 10497 KachelY 6399 0.88395643 0.63906151 50.646973 36.615527
    Unten links KachelX 10496 KachelY + 1 6400 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 10497 KachelY + 1 6400 0.88395643 0.63875366 50.646973 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63906151-0.63875366) × R
    0.000307849999999998 × 6371000     		dl = 1961.31234999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63906151-0.63875366) × R
    0.000307849999999998 × 6371000     		dr = 1961.31234999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88395643) × cos(0.63906151) × R
    0.000383499999999981 × 0.802655866523485 × 6371000     		do = 1961.1118215756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88395643) × cos(0.63875366) × R
    0.000383499999999981 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 1961.56035073004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63906151)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802655866523485-0.802839443284969)×R²
    abs(0.88395643-0.88357293)×0.000183576761484172×R²
    0.000383499999999981×0.000183576761484172×6371000²
    0.000383499999999981×0.000183576761484172×40589641000000     		ar = 3846792.71865257m²