Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10497 / 14593
↖ ↑ ↗
← S 80.182461°
E 50.646973°		 ← 416.60 m → S 80.182461°
E 50.668945°		 →
↑
416.54 m
↓
↑
416.54 m
↓
S 80.186207°
E 50.646973°		 ← 416.44 m →
173 494 m²		 S 80.186207°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640716552734375 y=0.890716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640716552734375 × 214)
    floor (0.640716552734375 × 16384)
    floor (10497.5)     		tx = 10497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890716552734375 × 214)
    floor (0.890716552734375 × 16384)
    floor (14593.5)     		ty = 14593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10497 / 14593 ti = "14/10497/14593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10497/14593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10497 ÷ 214
    10497 ÷ 16384     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14593 ÷ 214
    14593 ÷ 16384     		y = 0.89068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.7813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45475275574384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45475275574384))-π/2
    2×atan(0.0858844272476685)-π/2
    2×0.0856741918622156-π/2
    0.171348383724431-1.57079632675     		φ = -1.39944794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39944794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.182461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10497 KachelY 14593 0.88395643 -1.39944794 50.646973 -80.182461
    Oben rechts KachelX + 1 10498 KachelY 14593 0.88433992 -1.39944794 50.668945 -80.182461
    Unten links KachelX 10497 KachelY + 1 14594 0.88395643 -1.39951332 50.646973 -80.186207
    Unten rechts KachelX + 1 10498 KachelY + 1 14594 0.88433992 -1.39951332 50.668945 -80.186207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39944794--1.39951332) × R
    6.53800000001148e-05 × 6371000     		dl = 416.535980000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39944794--1.39951332) × R
    6.53800000001148e-05 × 6371000     		dr = 416.535980000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88433992) × cos(-1.39944794) × R
    0.000383489999999931 × 0.170511144350081 × 6371000     		do = 416.595349735869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88433992) × cos(-1.39951332) × R
    0.000383489999999931 × 0.17044672142691 × 6371000     		du = 416.43795069716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39944794)-sin(-1.39951332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170511144350081-0.17044672142691)×R²
    abs(0.88433992-0.88395643)×6.44229231717697e-05×R²
    0.000383489999999931×6.44229231717697e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.44229231717697e-05×40589641000000     		ar = 173494.171145414m²