Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10503 / 2311
↖ ↑ ↗
← N 78.030131°
E 50.778809°		 ← 506.73 m → N 78.030131°
E 50.800782°		 →
↑
506.81 m
↓
↑
506.81 m
↓
N 78.025574°
E 50.778809°		 ← 506.92 m →
256 865 m²		 N 78.025574°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641082763671875 y=0.141082763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641082763671875 × 214)
    floor (0.641082763671875 × 16384)
    floor (10503.5)     		tx = 10503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141082763671875 × 214)
    floor (0.141082763671875 × 16384)
    floor (2311.5)     		ty = 2311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10503 / 2311 ti = "14/10503/2311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10503/2311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10503 ÷ 214
    10503 ÷ 16384     		x = 0.64105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2311 ÷ 214
    2311 ÷ 16384     		y = 0.14105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64105224609375 × 2 - 1) × π
    0.2821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88625740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14105224609375 × 2 - 1) × π
    0.7178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2553352533244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88625740} λ = 0.88625740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2553352533244))-π/2
    2×atan(9.53849058484667)-π/2
    2×1.46633951910283-π/2
    2.93267903820566-1.57079632675     		φ = 1.36188271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88625740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36188271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.030131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10503 KachelY 2311 0.88625740 1.36188271 50.778809 78.030131
    Oben rechts KachelX + 1 10504 KachelY 2311 0.88664090 1.36188271 50.800782 78.030131
    Unten links KachelX 10503 KachelY + 1 2312 0.88625740 1.36180316 50.778809 78.025574
    Unten rechts KachelX + 1 10504 KachelY + 1 2312 0.88664090 1.36180316 50.800782 78.025574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36188271-1.36180316) × R
    7.95499999999283e-05 × 6371000     		dl = 506.813049999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36188271-1.36180316) × R
    7.95499999999283e-05 × 6371000     		dr = 506.813049999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88625740-0.88664090) × cos(1.36188271) × R
    0.000383499999999981 × 0.207397260680131 × 6371000     		do = 506.729267978635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88625740-0.88664090) × cos(1.36180316) × R
    0.000383499999999981 × 0.20747508035265 × 6371000     		du = 506.919403111378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36188271)-sin(1.36180316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207397260680131-0.20747508035265)×R²
    abs(0.88664090-0.88625740)×7.78196725188252e-05×R²
    0.000383499999999981×7.78196725188252e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.78196725188252e-05×40589641000000     		ar = 256865.187447782m²