Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10504 / 14600
↖ ↑ ↗
← S 80.208652°
E 50.800782°		 ← 415.49 m → S 80.208652°
E 50.822754°		 →
↑
415.39 m
↓
↑
415.39 m
↓
S 80.212388°
E 50.800782°		 ← 415.34 m →
172 559 m²		 S 80.212388°
E 50.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641143798828125 y=0.891143798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641143798828125 × 214)
    floor (0.641143798828125 × 16384)
    floor (10504.5)     		tx = 10504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891143798828125 × 214)
    floor (0.891143798828125 × 16384)
    floor (14600.5)     		ty = 14600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10504 / 14600 ti = "14/10504/14600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10504/14600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10504 ÷ 214
    10504 ÷ 16384     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14600 ÷ 214
    14600 ÷ 16384     		y = 0.89111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89111328125 × 2 - 1) × π
    -0.7822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45743722212256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45743722212256))-π/2
    2×atan(0.0856541825705823)-π/2
    2×0.0854456285829976-π/2
    0.170891257165995-1.57079632675     		φ = -1.39990507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39990507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.208652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10504 KachelY 14600 0.88664090 -1.39990507 50.800782 -80.208652
    Oben rechts KachelX + 1 10505 KachelY 14600 0.88702439 -1.39990507 50.822754 -80.208652
    Unten links KachelX 10504 KachelY + 1 14601 0.88664090 -1.39997027 50.800782 -80.212388
    Unten rechts KachelX + 1 10505 KachelY + 1 14601 0.88702439 -1.39997027 50.822754 -80.212388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39990507--1.39997027) × R
    6.52000000000985e-05 × 6371000     		dl = 415.389200000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39990507--1.39997027) × R
    6.52000000000985e-05 × 6371000     		dr = 415.389200000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(-1.39990507) × R
    0.000383490000000042 × 0.170060690877121 × 6371000     		do = 415.494795148646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(-1.39997027) × R
    0.000383490000000042 × 0.169996440245594 × 6371000     		du = 415.337817055433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39990507)-sin(-1.39997027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170060690877121-0.169996440245594)×R²
    abs(0.88702439-0.88664090)×6.42506315269575e-05×R²
    0.000383490000000042×6.42506315269575e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.42506315269575e-05×40589641000000     		ar = 172559.447120232m²