Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10504 / 1800
↖ ↑ ↗
← N 80.148684°
E 50.800782°		 ← 418.01 m → N 80.148684°
E 50.822754°		 →
↑
418.13 m
↓
↑
418.13 m
↓
N 80.144924°
E 50.800782°		 ← 418.17 m →
174 817 m²		 N 80.144924°
E 50.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641143798828125 y=0.109893798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641143798828125 × 214)
    floor (0.641143798828125 × 16384)
    floor (10504.5)     		tx = 10504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109893798828125 × 214)
    floor (0.109893798828125 × 16384)
    floor (1800.5)     		ty = 1800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10504 / 1800 ti = "14/10504/1800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10504/1800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10504 ÷ 214
    10504 ÷ 16384     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1800 ÷ 214
    1800 ÷ 16384     		y = 0.10986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10986328125 × 2 - 1) × π
    0.7802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45130129897119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45130129897119))-π/2
    2×atan(11.6034364388759)-π/2
    2×1.4848273780959-π/2
    2.9696547561918-1.57079632675     		φ = 1.39885843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39885843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.148684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10504 KachelY 1800 0.88664090 1.39885843 50.800782 80.148684
    Oben rechts KachelX + 1 10505 KachelY 1800 0.88702439 1.39885843 50.822754 80.148684
    Unten links KachelX 10504 KachelY + 1 1801 0.88664090 1.39879280 50.800782 80.144924
    Unten rechts KachelX + 1 10505 KachelY + 1 1801 0.88702439 1.39879280 50.822754 80.144924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39885843-1.39879280) × R
    6.56299999999277e-05 × 6371000     		dl = 418.128729999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39885843-1.39879280) × R
    6.56299999999277e-05 × 6371000     		dr = 418.128729999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(1.39885843) × R
    0.000383490000000042 × 0.171091991755112 × 6371000     		do = 418.014484706693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(1.39879280) × R
    0.000383490000000042 × 0.171156653676085 × 6371000     		du = 418.172467668364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39885843)-sin(1.39879280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171091991755112-0.171156653676085)×R²
    abs(0.88702439-0.88664090)×6.46619209727639e-05×R²
    0.000383490000000042×6.46619209727639e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.46619209727639e-05×40589641000000     		ar = 174816.894280995m²