Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10504 / 2296
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
E 50.800782°		 ← 503.87 m → N 78.098296°
E 50.822754°		 →
↑
504.01 m
↓
↑
504.01 m
↓
N 78.093763°
E 50.800782°		 ← 504.06 m →
254 004 m²		 N 78.093763°
E 50.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641143798828125 y=0.140167236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641143798828125 × 214)
    floor (0.641143798828125 × 16384)
    floor (10504.5)     		tx = 10504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140167236328125 × 214)
    floor (0.140167236328125 × 16384)
    floor (2296.5)     		ty = 2296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10504 / 2296 ti = "14/10504/2296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10504/2296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10504 ÷ 214
    10504 ÷ 16384     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2296 ÷ 214
    2296 ÷ 16384     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10504 KachelY 2296 0.88664090 1.36307240 50.800782 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 10505 KachelY 2296 0.88702439 1.36307240 50.822754 78.098296
    Unten links KachelX 10504 KachelY + 1 2297 0.88664090 1.36299329 50.800782 78.093763
    Unten rechts KachelX + 1 10505 KachelY + 1 2297 0.88702439 1.36299329 50.822754 78.093763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36299329) × R
    7.91100000001599e-05 × 6371000     		dl = 504.009810001019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36299329) × R
    7.91100000001599e-05 × 6371000     		dr = 504.009810001019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(1.36307240) × R
    0.000383490000000042 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 503.872228827066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88702439) × cos(1.36299329) × R
    0.000383490000000042 × 0.206310700560491 × 6371000     		du = 504.061354944709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36299329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206310700560491)×R²
    abs(0.88702439-0.88664090)×7.74087151143577e-05×R²
    0.000383490000000042×7.74087151143577e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.74087151143577e-05×40589641000000     		ar = 254004.207157576m²