Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10506 / 2314
↖ ↑ ↗
← N 78.016453°
E 50.844727°		 ← 507.29 m → N 78.016453°
E 50.866699°		 →
↑
507.39 m
↓
↑
507.39 m
↓
N 78.011890°
E 50.844727°		 ← 507.48 m →
257 439 m²		 N 78.011890°
E 50.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641265869140625 y=0.141265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641265869140625 × 214)
    floor (0.641265869140625 × 16384)
    floor (10506.5)     		tx = 10506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141265869140625 × 214)
    floor (0.141265869140625 × 16384)
    floor (2314.5)     		ty = 2314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10506 / 2314 ti = "14/10506/2314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10506/2314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10506 ÷ 214
    10506 ÷ 16384     		x = 0.6412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2314 ÷ 214
    2314 ÷ 16384     		y = 0.1412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    0.282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88740789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    0.717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25418476773352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88740789} λ = 0.88740789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25418476773352))-π/2
    2×atan(9.52752299910447)-π/2
    2×1.46622014816313-π/2
    2.93244029632626-1.57079632675     		φ = 1.36164397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88740789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36164397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.016453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10506 KachelY 2314 0.88740789 1.36164397 50.844727 78.016453
    Oben rechts KachelX + 1 10507 KachelY 2314 0.88779138 1.36164397 50.866699 78.016453
    Unten links KachelX 10506 KachelY + 1 2315 0.88740789 1.36156433 50.844727 78.011890
    Unten rechts KachelX + 1 10507 KachelY + 1 2315 0.88779138 1.36156433 50.866699 78.011890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36164397-1.36156433) × R
    7.96400000000475e-05 × 6371000     		dl = 507.386440000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36164397-1.36156433) × R
    7.96400000000475e-05 × 6371000     		dr = 507.386440000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88740789-0.88779138) × cos(1.36164397) × R
    0.000383490000000042 × 0.207630803797017 × 6371000     		do = 507.286650696516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88740789-0.88779138) × cos(1.36156433) × R
    0.000383490000000042 × 0.207708707564905 × 6371000     		du = 507.476986334416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36164397)-sin(1.36156433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207630803797017-0.207708707564905)×R²
    abs(0.88779138-0.88740789)×7.79037678878547e-05×R²
    0.000383490000000042×7.79037678878547e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.79037678878547e-05×40589641000000     		ar = 257438.654753039m²