Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10511 / 2319
↖ ↑ ↗
← N 77.993620°
E 50.954590°		 ← 508.25 m → N 77.993620°
E 50.976563°		 →
↑
508.34 m
↓
↑
508.34 m
↓
N 77.989049°
E 50.954590°		 ← 508.44 m →
258 414 m²		 N 77.989049°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641571044921875 y=0.141571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641571044921875 × 214)
    floor (0.641571044921875 × 16384)
    floor (10511.5)     		tx = 10511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141571044921875 × 214)
    floor (0.141571044921875 × 16384)
    floor (2319.5)     		ty = 2319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10511 / 2319 ti = "14/10511/2319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10511/2319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10511 ÷ 214
    10511 ÷ 16384     		x = 0.64154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2319 ÷ 214
    2319 ÷ 16384     		y = 0.14154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    0.2830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88932536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14154052734375 × 2 - 1) × π
    0.7169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25226729174872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88932536} λ = 0.88932536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25226729174872))-π/2
    2×atan(9.50927170635887)-π/2
    2×1.46602089782055-π/2
    2.9320417956411-1.57079632675     		φ = 1.36124547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88932536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.954590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36124547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.993620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10511 KachelY 2319 0.88932536 1.36124547 50.954590 77.993620
    Oben rechts KachelX + 1 10512 KachelY 2319 0.88970886 1.36124547 50.976563 77.993620
    Unten links KachelX 10511 KachelY + 1 2320 0.88932536 1.36116568 50.954590 77.989049
    Unten rechts KachelX + 1 10512 KachelY + 1 2320 0.88970886 1.36116568 50.976563 77.989049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36124547-1.36116568) × R
    7.9790000000024e-05 × 6371000     		dl = 508.342090000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36124547-1.36116568) × R
    7.9790000000024e-05 × 6371000     		dr = 508.342090000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88932536-0.88970886) × cos(1.36124547) × R
    0.000383500000000092 × 0.208020602894872 × 6371000     		do = 508.252266610199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88932536-0.88970886) × cos(1.36116568) × R
    0.000383500000000092 × 0.208098646782033 × 6371000     		du = 508.442949561758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36124547)-sin(1.36116568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208020602894872-0.208098646782033)×R²
    abs(0.88970886-0.88932536)×7.80438871617051e-05×R²
    0.000383500000000092×7.80438871617051e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.80438871617051e-05×40589641000000     		ar = 258414.485678504m²