Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10512 / 14608
↖ ↑ ↗
← S 80.238500°
E 50.976563°		 ← 414.24 m → S 80.238500°
E 50.998535°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
S 80.242225°
E 50.976563°		 ← 414.08 m →
171 537 m²		 S 80.242225°
E 50.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641632080078125 y=0.891632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641632080078125 × 214)
    floor (0.641632080078125 × 16384)
    floor (10512.5)     		tx = 10512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891632080078125 × 214)
    floor (0.891632080078125 × 16384)
    floor (14608.5)     		ty = 14608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10512 / 14608 ti = "14/10512/14608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10512/14608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10512 ÷ 214
    10512 ÷ 16384     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14608 ÷ 214
    14608 ÷ 16384     		y = 0.8916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    -0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46050518369824))-π/2
    2×atan(0.085391801522948)-π/2
    2×0.0851851527048376-π/2
    0.170370305409675-1.57079632675     		φ = -1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10512 KachelY 14608 0.88970886 -1.40042602 50.976563 -80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 10513 KachelY 14608 0.89009235 -1.40042602 50.998535 -80.238500
    Unten links KachelX 10512 KachelY + 1 14609 0.88970886 -1.40049103 50.976563 -80.242225
    Unten rechts KachelX + 1 10513 KachelY + 1 14609 0.89009235 -1.40049103 50.998535 -80.242225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40042602--1.40049103) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dl = 414.178709999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40042602--1.40049103) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dr = 414.178709999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89009235) × cos(-1.40042602) × R
    0.000383489999999931 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 414.240486100315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89009235) × cos(-1.40049103) × R
    0.000383489999999931 × 0.169483237048342 × 6371000     		du = 414.083951413511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40042602)-sin(-1.40049103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.169483237048342)×R²
    abs(0.89009235-0.88970886)×6.4069146701734e-05×R²
    0.000383489999999931×6.4069146701734e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.4069146701734e-05×40589641000000     		ar = 171537.173555165m²