Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10514 / 2322
↖ ↑ ↗
← N 77.979900°
E 51.020508°		 ← 508.81 m → N 77.979900°
E 51.042480°		 →
↑
508.92 m
↓
↑
508.92 m
↓
N 77.975323°
E 51.020508°		 ← 509 m →
258 990 m²		 N 77.975323°
E 51.042480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641754150390625 y=0.141754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641754150390625 × 214)
    floor (0.641754150390625 × 16384)
    floor (10514.5)     		tx = 10514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141754150390625 × 214)
    floor (0.141754150390625 × 16384)
    floor (2322.5)     		ty = 2322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10514 / 2322 ti = "14/10514/2322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10514/2322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10514 ÷ 214
    10514 ÷ 16384     		x = 0.6417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2322 ÷ 214
    2322 ÷ 16384     		y = 0.1417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    0.283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89047585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1417236328125 × 2 - 1) × π
    0.716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89047585} λ = 0.89047585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25111680615784))-π/2
    2×atan(9.49833771718546)-π/2
    2×1.46590116811356-π/2
    2.93180233622712-1.57079632675     		φ = 1.36100601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89047585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36100601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.979900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10514 KachelY 2322 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
    Oben rechts KachelX + 1 10515 KachelY 2322 0.89085934 1.36100601 51.042480 77.979900
    Unten links KachelX 10514 KachelY + 1 2323 0.89047585 1.36092613 51.020508 77.975323
    Unten rechts KachelX + 1 10515 KachelY + 1 2323 0.89085934 1.36092613 51.042480 77.975323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36100601-1.36092613) × R
    7.98800000001432e-05 × 6371000     		dl = 508.915480000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36100601-1.36092613) × R
    7.98800000001432e-05 × 6371000     		dr = 508.915480000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89047585-0.89085934) × cos(1.36100601) × R
    0.000383490000000042 × 0.20825481860803 × 6371000     		do = 508.811252911961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89047585-0.89085934) × cos(1.36092613) × R
    0.000383490000000042 × 0.208332946542878 × 6371000     		du = 509.002136237894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36100601)-sin(1.36092613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20825481860803-0.208332946542878)×R²
    abs(0.89085934-0.89047585)×7.8127934847988e-05×R²
    0.000383490000000042×7.8127934847988e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.8127934847988e-05×40589641000000     		ar = 258990.494883771m²