Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10527 / 2337
↖ ↑ ↗
← N 77.911068°
E 51.306152°		 ← 511.70 m → N 77.911068°
E 51.328125°		 →
↑
511.78 m
↓
↑
511.78 m
↓
N 77.906465°
E 51.306152°		 ← 511.89 m →
261 926 m²		 N 77.906465°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642547607421875 y=0.142669677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642547607421875 × 214)
    floor (0.642547607421875 × 16384)
    floor (10527.5)     		tx = 10527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142669677734375 × 214)
    floor (0.142669677734375 × 16384)
    floor (2337.5)     		ty = 2337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10527 / 2337 ti = "14/10527/2337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10527/2337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10527 ÷ 214
    10527 ÷ 16384     		x = 0.64251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2337 ÷ 214
    2337 ÷ 16384     		y = 0.14263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64251708984375 × 2 - 1) × π
    0.2850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89546128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14263916015625 × 2 - 1) × π
    0.7147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24536437820343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89546128} λ = 0.89546128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24536437820343))-π/2
    2×atan(9.44385606490553)-π/2
    2×1.46530049463457-π/2
    2.93060098926915-1.57079632675     		φ = 1.35980466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89546128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35980466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.911068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10527 KachelY 2337 0.89546128 1.35980466 51.306152 77.911068
    Oben rechts KachelX + 1 10528 KachelY 2337 0.89584478 1.35980466 51.328125 77.911068
    Unten links KachelX 10527 KachelY + 1 2338 0.89546128 1.35972433 51.306152 77.906465
    Unten rechts KachelX + 1 10528 KachelY + 1 2338 0.89584478 1.35972433 51.328125 77.906465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35980466-1.35972433) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dl = 511.782430000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35980466-1.35972433) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dr = 511.782430000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89546128-0.89584478) × cos(1.35980466) × R
    0.000383499999999981 × 0.20942967796961 × 6371000     		do = 511.695029445045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89546128-0.89584478) × cos(1.35972433) × R
    0.000383499999999981 × 0.209508225872522 × 6371000     		du = 511.886943847452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35980466)-sin(1.35972433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20942967796961-0.209508225872522)×R²
    abs(0.89584478-0.89546128)×7.85479029127845e-05×R²
    0.000383499999999981×7.85479029127845e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.85479029127845e-05×40589641000000     		ar = 261925.63493841m²