Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10528 / 2335
↖ ↑ ↗
← N 77.920268°
E 51.328125°		 ← 511.31 m → N 77.920268°
E 51.350098°		 →
↑
511.40 m
↓
↑
511.40 m
↓
N 77.915669°
E 51.328125°		 ← 511.50 m →
261 534 m²		 N 77.915669°
E 51.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642608642578125 y=0.142547607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642608642578125 × 214)
    floor (0.642608642578125 × 16384)
    floor (10528.5)     		tx = 10528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142547607421875 × 214)
    floor (0.142547607421875 × 16384)
    floor (2335.5)     		ty = 2335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10528 / 2335 ti = "14/10528/2335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10528/2335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10528 ÷ 214
    10528 ÷ 16384     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2335 ÷ 214
    2335 ÷ 16384     		y = 0.14251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14251708984375 × 2 - 1) × π
    0.7149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24613136859735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24613136859735))-π/2
    2×atan(9.45110219028794)-π/2
    2×1.46538077979895-π/2
    2.9307615595979-1.57079632675     		φ = 1.35996523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35996523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.920268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10528 KachelY 2335 0.89584478 1.35996523 51.328125 77.920268
    Oben rechts KachelX + 1 10529 KachelY 2335 0.89622828 1.35996523 51.350098 77.920268
    Unten links KachelX 10528 KachelY + 1 2336 0.89584478 1.35988496 51.328125 77.915669
    Unten rechts KachelX + 1 10529 KachelY + 1 2336 0.89622828 1.35988496 51.350098 77.915669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35996523-1.35988496) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dl = 511.400169999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35996523-1.35988496) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dr = 511.400169999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89622828) × cos(1.35996523) × R
    0.000383499999999981 × 0.209272666117159 × 6371000     		do = 511.311405761709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89622828) × cos(1.35988496) × R
    0.000383499999999981 × 0.209351158050482 × 6371000     		du = 511.503183414819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35996523)-sin(1.35988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209272666117159-0.209351158050482)×R²
    abs(0.89622828-0.89584478)×7.84919333227108e-05×R²
    0.000383499999999981×7.84919333227108e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.84919333227108e-05×40589641000000     		ar = 261533.777531684m²