Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10532 / 2340
↖ ↑ ↗
← N 77.897255°
E 51.416016°		 ← 512.27 m → N 77.897255°
E 51.437989°		 →
↑
512.36 m
↓
↑
512.36 m
↓
N 77.892647°
E 51.416016°		 ← 512.46 m →
262 514 m²		 N 77.892647°
E 51.437989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642852783203125 y=0.142852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642852783203125 × 214)
    floor (0.642852783203125 × 16384)
    floor (10532.5)     		tx = 10532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142852783203125 × 214)
    floor (0.142852783203125 × 16384)
    floor (2340.5)     		ty = 2340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10532 / 2340 ti = "14/10532/2340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10532/2340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10532 ÷ 214
    10532 ÷ 16384     		x = 0.642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2340 ÷ 214
    2340 ÷ 16384     		y = 0.142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    0.28564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89737876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    0.71435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24421389261255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89737876} λ = 0.89737876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24421389261255))-π/2
    2×atan(9.432997292209)-π/2
    2×1.46517995393398-π/2
    2.93035990786796-1.57079632675     		φ = 1.35956358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89737876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35956358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.897255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10532 KachelY 2340 0.89737876 1.35956358 51.416016 77.897255
    Oben rechts KachelX + 1 10533 KachelY 2340 0.89776226 1.35956358 51.437989 77.897255
    Unten links KachelX 10532 KachelY + 1 2341 0.89737876 1.35948316 51.416016 77.892647
    Unten rechts KachelX + 1 10533 KachelY + 1 2341 0.89776226 1.35948316 51.437989 77.892647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35956358-1.35948316) × R
    8.0420000000192e-05 × 6371000     		dl = 512.355820001223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35956358-1.35948316) × R
    8.0420000000192e-05 × 6371000     		dr = 512.355820001223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89737876-0.89776226) × cos(1.35956358) × R
    0.000383499999999981 × 0.209665405621616 × 6371000     		do = 512.270977749049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89737876-0.89776226) × cos(1.35948316) × R
    0.000383499999999981 × 0.209744037463751 × 6371000     		du = 512.463097238351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35956358)-sin(1.35948316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209665405621616-0.209744037463751)×R²
    abs(0.89776226-0.89737876)×7.86318421342191e-05×R²
    0.000383499999999981×7.86318421342191e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.86318421342191e-05×40589641000000     		ar = 262514.233778693m²