Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1054 / 1062
↖ ↑ ↗
← S  6.664608°
E  5.273438°		 ← 19.414 km → S  6.664608°
E  5.449219°		 →
↑
19.410 km
↓
↑
19.410 km
↓
S  6.839170°
E  5.273438°		 ← 19.407 km →
376.764 km²		 S  6.839170°
E  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514892578125 y=0.518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514892578125 × 211)
    floor (0.514892578125 × 2048)
    floor (1054.5)     		tx = 1054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518798828125 × 211)
    floor (0.518798828125 × 2048)
    floor (1062.5)     		ty = 1062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1054 / 1062 ti = "11/1054/1062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1054/1062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1054 ÷ 211
    1054 ÷ 2048     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1062 ÷ 211
    1062 ÷ 2048     		y = 0.5185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.116582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.116582539875977))-π/2
    2×atan(0.889956637034587)-π/2
    2×0.727238490742491-π/2
    1.45447698148498-1.57079632675     		φ = -0.11631935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11631935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1054 KachelY 1062 0.09203885 -0.11631935 5.273438 -6.664608
    Oben rechts KachelX + 1 1055 KachelY 1062 0.09510681 -0.11631935 5.449219 -6.664608
    Unten links KachelX 1054 KachelY + 1 1063 0.09203885 -0.11936603 5.273438 -6.839170
    Unten rechts KachelX + 1 1055 KachelY + 1 1063 0.09510681 -0.11936603 5.449219 -6.839170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11631935--0.11936603) × R
    0.00304668 × 6371000     		dl = 19410.39828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11631935--0.11936603) × R
    0.00304668 × 6371000     		dr = 19410.39828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09510681) × cos(-0.11631935) × R
    0.00306795999999999 × 0.993242528721517 × 6371000     		do = 19413.8918077613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09510681) × cos(-0.11936603) × R
    0.00306795999999999 × 0.992884330283033 × 6371000     		du = 19406.8904706967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11631935)-sin(-0.11936603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993242528721517-0.992884330283033)×R²
    abs(0.09510681-0.09203885)×0.000358198438483726×R²
    0.00306795999999999×0.000358198438483726×6371000²
    0.00306795999999999×0.000358198438483726×40589641000000     		ar = 376763714.217928m²