Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1055 / 3105
↖ ↑ ↗
← N 39.876019°
W133.637695°		 ← 3 750.06 m → N 39.876019°
W133.593750°		 →
↑
3 750.99 m
↓
↑
3 750.99 m
↓
N 39.842286°
W133.637695°		 ← 3 751.90 m →
14 069 892 m²		 N 39.842286°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12884521484375 y=0.37908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12884521484375 × 213)
    floor (0.12884521484375 × 8192)
    floor (1055.5)     		tx = 1055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37908935546875 × 213)
    floor (0.37908935546875 × 8192)
    floor (3105.5)     		ty = 3105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1055 / 3105 ti = "13/1055/3105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1055/3105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1055 ÷ 213
    1055 ÷ 8192     		x = 0.1287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3105 ÷ 213
    3105 ÷ 8192     		y = 0.3790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33241779} λ = -2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.76008748037561))-π/2
    2×atan(2.1384632858859)-π/2
    2×1.13338207911991-π/2
    2.26676415823981-1.57079632675     		φ = 0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1055 KachelY 3105 -2.33241779 0.69596783 -133.637695 39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 1056 KachelY 3105 -2.33165080 0.69596783 -133.593750 39.876019
    Unten links KachelX 1055 KachelY + 1 3106 -2.33241779 0.69537907 -133.637695 39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 1056 KachelY + 1 3106 -2.33165080 0.69537907 -133.593750 39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69596783-0.69537907) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dl = 3750.98995999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69596783-0.69537907) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dr = 3750.98995999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.69596783) × R
    0.000766990000000245 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 3750.05893136122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.69537907) × R
    0.000766990000000245 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 3751.90278986205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69596783)-sin(0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.76781089570694)×R²
    abs(-2.33165080--2.33241779)×0.000377337774023268×R²
    0.000766990000000245×0.000377337774023268×6371000²
    0.000766990000000245×0.000377337774023268×40589641000000     		ar = 14069891.9547344m²