Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1056 / 3104
↖ ↑ ↗
← S 67.609220°
W 87.187500°		 ← 3 722.74 m → S 67.609220°
W 87.099609°		 →
↑
3 720.15 m
↓
↑
3 720.15 m
↓
S 67.642677°
W 87.187500°		 ← 3 717.46 m →
13 839 358 m²		 S 67.642677°
W 87.099609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2579345703125 y=0.7579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2579345703125 × 212)
    floor (0.2579345703125 × 4096)
    floor (1056.5)     		tx = 1056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7579345703125 × 212)
    floor (0.7579345703125 × 4096)
    floor (3104.5)     		ty = 3104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1056 / 3104 ti = "12/1056/3104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1056/3104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1056 ÷ 212
    1056 ÷ 4096     		x = 0.2578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3104 ÷ 212
    3104 ÷ 4096     		y = 0.7578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2578125 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7578125 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52170894} λ = -1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61988371196094))-π/2
    2×atan(0.197921713673399)-π/2
    2×0.195396411274361-π/2
    0.390792822548722-1.57079632675     		φ = -1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1056 KachelY 3104 -1.52170894 -1.18000350 -87.187500 -67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 1057 KachelY 3104 -1.52017496 -1.18000350 -87.099609 -67.609220
    Unten links KachelX 1056 KachelY + 1 3105 -1.52170894 -1.18058742 -87.187500 -67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 1057 KachelY + 1 3105 -1.52017496 -1.18058742 -87.099609 -67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18000350--1.18058742) × R
    0.00058391999999996 × 6371000     		dl = 3720.15431999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18000350--1.18058742) × R
    0.00058391999999996 × 6371000     		dr = 3720.15431999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52170894--1.52017496) × cos(-1.18000350) × R
    0.00153397999999982 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 3722.74156993563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52170894--1.52017496) × cos(-1.18058742) × R
    0.00153397999999982 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 3717.46453216622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18000350)-sin(-1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.380381626612921)×R²
    abs(-1.52017496--1.52170894)×0.000539961630584174×R²
    0.00153397999999982×0.000539961630584174×6371000²
    0.00153397999999982×0.000539961630584174×40589641000000     		ar = 13839357.8294379m²