Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10560 / 14656
↖ ↑ ↗
← S 80.415708°
E 52.031250°		 ← 406.79 m → S 80.415708°
E 52.053223°		 →
↑
406.66 m
↓
↑
406.66 m
↓
S 80.419365°
E 52.031250°		 ← 406.64 m →
165 395 m²		 S 80.419365°
E 52.053223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644561767578125 y=0.894561767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644561767578125 × 214)
    floor (0.644561767578125 × 16384)
    floor (10560.5)     		tx = 10560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894561767578125 × 214)
    floor (0.894561767578125 × 16384)
    floor (14656.5)     		ty = 14656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10560 / 14656 ti = "14/10560/14656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10560/14656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10560 ÷ 214
    10560 ÷ 16384     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14656 ÷ 214
    14656 ÷ 16384     		y = 0.89453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89453125 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47891295315234))-π/2
    2×atan(0.0838343078979861)-π/2
    2×0.0836387307887637-π/2
    0.167277461577527-1.57079632675     		φ = -1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10560 KachelY 14656 0.90811663 -1.40351887 52.031250 -80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 10561 KachelY 14656 0.90850012 -1.40351887 52.053223 -80.415708
    Unten links KachelX 10560 KachelY + 1 14657 0.90811663 -1.40358270 52.031250 -80.419365
    Unten rechts KachelX + 1 10561 KachelY + 1 14657 0.90850012 -1.40358270 52.053223 -80.419365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40351887--1.40358270) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dl = 406.660929999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40351887--1.40358270) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dr = 406.660929999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90850012) × cos(-1.40351887) × R
    0.000383490000000042 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 406.791422441123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90850012) × cos(-1.40358270) × R
    0.000383490000000042 × 0.16643548887972 × 6371000     		du = 406.637648011858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40351887)-sin(-1.40358270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.16643548887972)×R²
    abs(0.90850012-0.90811663)×6.29393821182378e-05×R²
    0.000383490000000042×6.29393821182378e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.29393821182378e-05×40589641000000     		ar = 165394.911196243m²