Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10560 / 2368
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 52.031250°		 ← 517.66 m → N 77.767582°
E 52.053223°		 →
↑
517.77 m
↓
↑
517.77 m
↓
N 77.762926°
E 52.031250°		 ← 517.86 m →
268 081 m²		 N 77.762926°
E 52.053223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644561767578125 y=0.144561767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644561767578125 × 214)
    floor (0.644561767578125 × 16384)
    floor (10560.5)     		tx = 10560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144561767578125 × 214)
    floor (0.144561767578125 × 16384)
    floor (2368.5)     		ty = 2368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10560 / 2368 ti = "14/10560/2368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10560/2368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10560 ÷ 214
    10560 ÷ 16384     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2368 ÷ 214
    2368 ÷ 16384     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10560 KachelY 2368 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 10561 KachelY 2368 0.90850012 1.35730036 52.053223 77.767582
    Unten links KachelX 10560 KachelY + 1 2369 0.90811663 1.35721909 52.031250 77.762926
    Unten rechts KachelX + 1 10561 KachelY + 1 2369 0.90850012 1.35721909 52.053223 77.762926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35721909) × R
    8.12699999999111e-05 × 6371000     		dl = 517.771169999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35721909) × R
    8.12699999999111e-05 × 6371000     		dr = 517.771169999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90850012) × cos(1.35730036) × R
    0.000383490000000042 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 517.662932142842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90850012) × cos(1.35721909) × R
    0.000383490000000042 × 0.211957206769027 × 6371000     		du = 517.856982425232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35721909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.211957206769027)×R²
    abs(0.90850012-0.90811663)×7.94241599975376e-05×R²
    0.000383490000000042×7.94241599975376e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.94241599975376e-05×40589641000000     		ar = 268081.179009587m²