Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10561 / 2367
↖ ↑ ↗
← N 77.772237°
E 52.053223°		 ← 517.48 m → N 77.772237°
E 52.075195°		 →
↑
517.58 m
↓
↑
517.58 m
↓
N 77.767582°
E 52.053223°		 ← 517.68 m →
267 889 m²		 N 77.767582°
E 52.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644622802734375 y=0.144500732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644622802734375 × 214)
    floor (0.644622802734375 × 16384)
    floor (10561.5)     		tx = 10561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144500732421875 × 214)
    floor (0.144500732421875 × 16384)
    floor (2367.5)     		ty = 2367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10561 / 2367 ti = "14/10561/2367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10561/2367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10561 ÷ 214
    10561 ÷ 16384     		x = 0.64459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2367 ÷ 214
    2367 ÷ 16384     		y = 0.14447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64459228515625 × 2 - 1) × π
    0.2891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90850012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14447021484375 × 2 - 1) × π
    0.7110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90850012} λ = 0.90850012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23385952229462))-π/2
    2×atan(9.33582847414524)-π/2
    2×1.46408896478085-π/2
    2.92817792956169-1.57079632675     		φ = 1.35738160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90850012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35738160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.772237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10561 KachelY 2367 0.90850012 1.35738160 52.053223 77.772237
    Oben rechts KachelX + 1 10562 KachelY 2367 0.90888362 1.35738160 52.075195 77.772237
    Unten links KachelX 10561 KachelY + 1 2368 0.90850012 1.35730036 52.053223 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 10562 KachelY + 1 2368 0.90888362 1.35730036 52.075195 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35738160-1.35730036) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dl = 517.580040000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35738160-1.35730036) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dr = 517.580040000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90850012-0.90888362) × cos(1.35738160) × R
    0.000383499999999981 × 0.21179838636902 × 6371000     		do = 517.482443750095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90850012-0.90888362) × cos(1.35730036) × R
    0.000383499999999981 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 517.67643087629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35738160)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21179838636902-0.21187778260903)×R²
    abs(0.90888362-0.90850012)×7.93962400093273e-05×R²
    0.000383499999999981×7.93962400093273e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.93962400093273e-05×40589641000000     		ar = 267888.786015714m²