Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10562 / 2370
↖ ↑ ↗
← N 77.758268°
E 52.075195°		 ← 518.05 m → N 77.758268°
E 52.097168°		 →
↑
518.15 m
↓
↑
518.15 m
↓
N 77.753608°
E 52.075195°		 ← 518.25 m →
268 480 m²		 N 77.753608°
E 52.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644683837890625 y=0.144683837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644683837890625 × 214)
    floor (0.644683837890625 × 16384)
    floor (10562.5)     		tx = 10562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144683837890625 × 214)
    floor (0.144683837890625 × 16384)
    floor (2370.5)     		ty = 2370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10562 / 2370 ti = "14/10562/2370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10562/2370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10562 ÷ 214
    10562 ÷ 16384     		x = 0.6446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2370 ÷ 214
    2370 ÷ 16384     		y = 0.1446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6446533203125 × 2 - 1) × π
    0.289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90888362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1446533203125 × 2 - 1) × π
    0.710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23270903670374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90888362} λ = 0.90888362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23270903670374))-π/2
    2×atan(9.32509391416912)-π/2
    2×1.46396706076709-π/2
    2.92793412153418-1.57079632675     		φ = 1.35713779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90888362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35713779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.758268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10562 KachelY 2370 0.90888362 1.35713779 52.075195 77.758268
    Oben rechts KachelX + 1 10563 KachelY 2370 0.90926711 1.35713779 52.097168 77.758268
    Unten links KachelX 10562 KachelY + 1 2371 0.90888362 1.35705646 52.075195 77.753608
    Unten rechts KachelX + 1 10563 KachelY + 1 2371 0.90926711 1.35705646 52.097168 77.753608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35713779-1.35705646) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dl = 518.15342999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35713779-1.35705646) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dr = 518.15342999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90888362-0.90926711) × cos(1.35713779) × R
    0.000383490000000042 × 0.212036658846939 × 6371000     		do = 518.051100917081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90888362-0.90926711) × cos(1.35705646) × R
    0.000383490000000042 × 0.212116138840688 × 6371000     		du = 518.245287613318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35713779)-sin(1.35705646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212036658846939-0.212116138840688)×R²
    abs(0.90926711-0.90888362)×7.94799937488821e-05×R²
    0.000383490000000042×7.94799937488821e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.94799937488821e-05×40589641000000     		ar = 268480.264254267m²