Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10568 / 2376
↖ ↑ ↗
← N 77.730283°
E 52.207031°		 ← 519.22 m → N 77.730283°
E 52.229004°		 →
↑
519.36 m
↓
↑
519.36 m
↓
N 77.725612°
E 52.207031°		 ← 519.41 m →
269 713 m²		 N 77.725612°
E 52.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.645050048828125 y=0.145050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.645050048828125 × 214)
    floor (0.645050048828125 × 16384)
    floor (10568.5)     		tx = 10568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145050048828125 × 214)
    floor (0.145050048828125 × 16384)
    floor (2376.5)     		ty = 2376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10568 / 2376 ti = "14/10568/2376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10568/2376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10568 ÷ 214
    10568 ÷ 16384     		x = 0.64501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2376 ÷ 214
    2376 ÷ 16384     		y = 0.14501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.91118459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14501953125 × 2 - 1) × π
    0.7099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23040806552197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91118459} λ = 0.91118459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23040806552197))-π/2
    2×atan(9.30366180859001)-π/2
    2×1.46372284118196-π/2
    2.92744568236393-1.57079632675     		φ = 1.35664936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91118459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35664936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.730283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10568 KachelY 2376 0.91118459 1.35664936 52.207031 77.730283
    Oben rechts KachelX + 1 10569 KachelY 2376 0.91156808 1.35664936 52.229004 77.730283
    Unten links KachelX 10568 KachelY + 1 2377 0.91118459 1.35656784 52.207031 77.725612
    Unten rechts KachelX + 1 10569 KachelY + 1 2377 0.91156808 1.35656784 52.229004 77.725612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35664936-1.35656784) × R
    8.15199999999461e-05 × 6371000     		dl = 519.363919999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35664936-1.35656784) × R
    8.15199999999461e-05 × 6371000     		dr = 519.363919999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91118459-0.91156808) × cos(1.35664936) × R
    0.000383490000000042 × 0.212513957474201 × 6371000     		do = 519.217243982455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91118459-0.91156808) × cos(1.35656784) × R
    0.000383490000000042 × 0.212593614690682 × 6371000     		du = 519.411863671891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35664936)-sin(1.35656784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212513957474201-0.212593614690682)×R²
    abs(0.91156808-0.91118459)×7.96572164807885e-05×R²
    0.000383490000000042×7.96572164807885e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.96572164807885e-05×40589641000000     		ar = 269713.242537362m²