Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 106 / 170
↖ ↑ ↗
← S 50.736455°
W 30.937500°		 ← 98.963 km → S 50.736455°
W 29.531250°		 →
↑
98.025 km
↓
↑
98.025 km
↓
S 51.618016°
W 30.937500°		 ← 97.089 km →
9 609.23 km²		 S 51.618016°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416015625 y=0.666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416015625 × 28)
    floor (0.416015625 × 256)
    floor (106.5)     		tx = 106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666015625 × 28)
    floor (0.666015625 × 256)
    floor (170.5)     		ty = 170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 106 / 170 ti = "8/106/170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/106/170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106 ÷ 28
    106 ÷ 256     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 170 ÷ 28
    170 ÷ 256     		y = 0.6640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6640625 × 2 - 1) × π
    -0.328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03083508942969))-π/2
    2×atan(0.356708952279156)-π/2
    2×0.342639066941159-π/2
    0.685278133882317-1.57079632675     		φ = -0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106 KachelY 170 -0.53996124 -0.88551819 -30.937500 -50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 107 KachelY 170 -0.51541754 -0.88551819 -29.531250 -50.736455
    Unten links KachelX 106 KachelY + 1 171 -0.53996124 -0.90090434 -30.937500 -51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 107 KachelY + 1 171 -0.51541754 -0.90090434 -29.531250 -51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88551819--0.90090434) × R
    0.01538615 × 6371000     		dl = 98025.1616499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88551819--0.90090434) × R
    0.01538615 × 6371000     		dr = 98025.1616499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(-0.88551819) × R
    0.0245437000000001 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 98963.4351830862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(-0.90090434) × R
    0.0245437000000001 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 97089.0434517205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88551819)-sin(-0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.620901320323887)×R²
    abs(-0.51541754--0.53996124)×0.0119870611495709×R²
    0.0245437000000001×0.0119870611495709×6371000²
    0.0245437000000001×0.0119870611495709×40589641000000     		ar = 9609227524.70626m²