Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 106 / 174
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
W 30.937500°		 ← 91.552 km → S 54.162434°
W 29.531250°		 →
↑
90.644 km
↓
↑
90.644 km
↓
S 54.977613°
W 30.937500°		 ← 89.739 km →
8 216.58 km²		 S 54.977613°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416015625 y=0.681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416015625 × 28)
    floor (0.416015625 × 256)
    floor (106.5)     		tx = 106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681640625 × 28)
    floor (0.681640625 × 256)
    floor (174.5)     		ty = 174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 106 / 174 ti = "8/106/174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/106/174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106 ÷ 28
    106 ÷ 256     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 174 ÷ 28
    174 ÷ 256     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106 KachelY 174 -0.53996124 -0.94531280 -30.937500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 107 KachelY 174 -0.51541754 -0.94531280 -29.531250 -54.162434
    Unten links KachelX 106 KachelY + 1 175 -0.53996124 -0.95954037 -30.937500 -54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 107 KachelY + 1 175 -0.51541754 -0.95954037 -29.531250 -54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.95954037) × R
    0.0142275700000001 × 6371000     		dl = 90643.8484700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.95954037) × R
    0.0142275700000001 × 6371000     		dr = 90643.8484700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(-0.94531280) × R
    0.0245437000000001 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 91551.7439595162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(-0.95954037) × R
    0.0245437000000001 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 89738.9900704517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.51541754--0.53996124)×0.0115928764269065×R²
    0.0245437000000001×0.0115928764269065×6371000²
    0.0245437000000001×0.0115928764269065×40589641000000     		ar = 8216583515.31736m²