Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 106 / 42
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
W 30.937500°		 ← 37.339 km → N 76.184995°
W 29.531250°		 →
↑
37.787 km
↓
↑
37.787 km
↓
N 75.845168°
W 30.937500°		 ← 38.239 km →
1 427.93 km²		 N 75.845168°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416015625 y=0.166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416015625 × 28)
    floor (0.416015625 × 256)
    floor (106.5)     		tx = 106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166015625 × 28)
    floor (0.166015625 × 256)
    floor (42.5)     		ty = 42
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 106 / 42 ti = "8/106/42"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/106/42.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106 ÷ 28
    106 ÷ 256     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42 ÷ 28
    42 ÷ 256     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106 KachelY 42 -0.53996124 1.32967901 -30.937500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 107 KachelY 42 -0.51541754 1.32967901 -29.531250 76.184995
    Unten links KachelX 106 KachelY + 1 43 -0.53996124 1.32374791 -30.937500 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 107 KachelY + 1 43 -0.51541754 1.32374791 -29.531250 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32374791) × R
    0.00593109999999997 × 6371000     		dl = 37787.0380999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32374791) × R
    0.00593109999999997 × 6371000     		dr = 37787.0380999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(1.32967901) × R
    0.0245437000000001 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 37338.7451826573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.51541754) × cos(1.32374791) × R
    0.0245437000000001 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 38238.6878737772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.244543060104282)×R²
    abs(-0.51541754--0.53996124)×0.00575529004372258×R²
    0.0245437000000001×0.00575529004372258×6371000²
    0.0245437000000001×0.00575529004372258×40589641000000     		ar = 1427927857.16853m²