Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10625 / 2433
↖ ↑ ↗
← N 77.461259°
E 53.459472°		 ← 530.44 m → N 77.461259°
E 53.481445°		 →
↑
530.51 m
↓
↑
530.51 m
↓
N 77.456488°
E 53.459472°		 ← 530.63 m →
281 455 m²		 N 77.456488°
E 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648529052734375 y=0.148529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648529052734375 × 214)
    floor (0.648529052734375 × 16384)
    floor (10625.5)     		tx = 10625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148529052734375 × 214)
    floor (0.148529052734375 × 16384)
    floor (2433.5)     		ty = 2433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10625 / 2433 ti = "14/10625/2433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10625/2433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10625 ÷ 214
    10625 ÷ 16384     		x = 0.64849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2433 ÷ 214
    2433 ÷ 16384     		y = 0.14849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    0.2969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93304381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14849853515625 × 2 - 1) × π
    0.7030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20854883929523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93304381} λ = 0.93304381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20854883929523))-π/2
    2×atan(9.10249761721864)-π/2
    2×1.46137517051926-π/2
    2.92275034103851-1.57079632675     		φ = 1.35195401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93304381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.459472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35195401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10625 KachelY 2433 0.93304381 1.35195401 53.459472 77.461259
    Oben rechts KachelX + 1 10626 KachelY 2433 0.93342731 1.35195401 53.481445 77.461259
    Unten links KachelX 10625 KachelY + 1 2434 0.93304381 1.35187074 53.459472 77.456488
    Unten rechts KachelX + 1 10626 KachelY + 1 2434 0.93342731 1.35187074 53.481445 77.456488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35195401-1.35187074) × R
    8.32699999999686e-05 × 6371000     		dl = 530.5131699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35195401-1.35187074) × R
    8.32699999999686e-05 × 6371000     		dr = 530.5131699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93304381-0.93342731) × cos(1.35195401) × R
    0.000383499999999981 × 0.217099697007265 × 6371000     		do = 530.43502205434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93304381-0.93342731) × cos(1.35187074) × R
    0.000383499999999981 × 0.217180980218041 × 6371000     		du = 530.633619575638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35195401)-sin(1.35187074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217099697007265-0.217180980218041)×R²
    abs(0.93342731-0.93304381)×8.12832107753847e-05×R²
    0.000383499999999981×8.12832107753847e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.12832107753847e-05×40589641000000     		ar = 281455.444491081m²