Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10640 / 2448
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
E 53.789062°		 ← 533.42 m → N 77.389504°
E 53.811035°		 →
↑
533.51 m
↓
↑
533.51 m
↓
N 77.384706°
E 53.789062°		 ← 533.62 m →
284 638 m²		 N 77.384706°
E 53.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649444580078125 y=0.149444580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649444580078125 × 214)
    floor (0.649444580078125 × 16384)
    floor (10640.5)     		tx = 10640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149444580078125 × 214)
    floor (0.149444580078125 × 16384)
    floor (2448.5)     		ty = 2448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10640 / 2448 ti = "14/10640/2448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10640/2448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10640 ÷ 214
    10640 ÷ 16384     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2448 ÷ 214
    2448 ÷ 16384     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10640 KachelY 2448 0.93879624 1.35070165 53.789062 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 10641 KachelY 2448 0.93917974 1.35070165 53.811035 77.389504
    Unten links KachelX 10640 KachelY + 1 2449 0.93879624 1.35061791 53.789062 77.384706
    Unten rechts KachelX + 1 10641 KachelY + 1 2449 0.93917974 1.35061791 53.811035 77.384706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.35061791) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dl = 533.507539999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.35061791) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dr = 533.507539999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.93917974) × cos(1.35070165) × R
    0.000383500000000092 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 533.421490079239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.93917974) × cos(1.35061791) × R
    0.000383500000000092 × 0.2184037361016 × 6371000     		du = 533.621152736841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.35061791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.2184037361016)×R²
    abs(0.93917974-0.93879624)×8.17191562901831e-05×R²
    0.000383500000000092×8.17191562901831e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.17191562901831e-05×40589641000000     		ar = 284637.647888731m²