Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106496 / 8192
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E112.500000°		 ← 38.93 m → N 82.676285°
E112.502747°		 →
↑
38.93 m
↓
↑
38.93 m
↓
N 82.675935°
E112.500000°		 ← 38.94 m →
1 516 m²		 N 82.675935°
E112.502747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812503814697266 y=0.0625038146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812503814697266 × 217)
    floor (0.812503814697266 × 131072)
    floor (106496.5)     		tx = 106496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0625038146972656 × 217)
    floor (0.0625038146972656 × 131072)
    floor (8192.5)     		ty = 8192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106496 / 8192 ti = "17/106496/8192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106496/8192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106496 ÷ 217
    106496 ÷ 131072     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8192 ÷ 217
    8192 ÷ 131072     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106496 KachelY 8192 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 106497 KachelY 8192 1.96354335 1.44297339 112.502747 82.676285
    Unten links KachelX 106496 KachelY + 1 8193 1.96349541 1.44296728 112.500000 82.675935
    Unten rechts KachelX + 1 106497 KachelY + 1 8193 1.96354335 1.44296728 112.502747 82.675935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44296728) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dl = 38.9268099996694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44296728) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dr = 38.9268099996694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96354335) × cos(1.44297339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 38.9341902499011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96354335) × cos(1.44296728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127481204354196 × 6371000     		du = 38.9360411759459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44296728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127481204354196)×R²
    abs(1.96354335-1.96349541)×6.06015080711897e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.06015080711897e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.06015080711897e-06×40589641000000     		ar = 1515.61985169414m²