Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106497 / 106497
↖ ↑ ↗
← S 74.020300°
E112.502747°		 ← 84.07 m → S 74.020300°
E112.505493°		 →
↑
84.10 m
↓
↑
84.10 m
↓
S 74.021056°
E112.502747°		 ← 84.06 m →
7 069 m²		 S 74.021056°
E112.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812511444091797 y=0.812511444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812511444091797 × 217)
    floor (0.812511444091797 × 131072)
    floor (106497.5)     		tx = 106497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812511444091797 × 217)
    floor (0.812511444091797 × 131072)
    floor (106497.5)     		ty = 106497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106497 / 106497 ti = "17/106497/106497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106497/106497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106497 ÷ 217
    106497 ÷ 131072     		x = 0.812507629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106497 ÷ 217
    106497 ÷ 131072     		y = 0.812507629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812507629394531 × 2 - 1) × π
    0.625015258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.96354335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812507629394531 × 2 - 1) × π
    -0.625015258789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.96354334533712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96354335} λ = 1.96354335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96354334533712))-π/2
    2×atan(0.140360194108189)-π/2
    2×0.139449194012161-π/2
    0.278898388024322-1.57079632675     		φ = -1.29189794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96354335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.502747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29189794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.020300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106497 KachelY 106497 1.96354335 -1.29189794 112.502747 -74.020300
    Oben rechts KachelX + 1 106498 KachelY 106497 1.96359128 -1.29189794 112.505493 -74.020300
    Unten links KachelX 106497 KachelY + 1 106498 1.96354335 -1.29191114 112.502747 -74.021056
    Unten rechts KachelX + 1 106498 KachelY + 1 106498 1.96359128 -1.29191114 112.505493 -74.021056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29189794--1.29191114) × R
    1.32000000001575e-05 × 6371000     		dl = 84.0972000010036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29189794--1.29191114) × R
    1.32000000001575e-05 × 6371000     		dr = 84.0972000010036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96354335-1.96359128) × cos(-1.29189794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.275296769730658 × 6371000     		do = 84.0651804574476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96354335-1.96359128) × cos(-1.29191114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.275284079764018 × 6371000     		du = 84.0613054234738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29189794)-sin(-1.29191114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275296769730658-0.275284079764018)×R²
    abs(1.96359128-1.96354335)×1.26899666398339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.26899666398339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.26899666398339e-05×40589641000000     		ar = 7069.48335425474m²