Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106504 / 106504
↖ ↑ ↗
← S 74.025591°
E112.521972°		 ← 84.06 m → S 74.025591°
E112.524719°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
S 74.026347°
E112.521972°		 ← 84.05 m →
7 063 m²		 S 74.026347°
E112.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812564849853516 y=0.812564849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812564849853516 × 217)
    floor (0.812564849853516 × 131072)
    floor (106504.5)     		tx = 106504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812564849853516 × 217)
    floor (0.812564849853516 × 131072)
    floor (106504.5)     		ty = 106504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106504 / 106504 ti = "17/106504/106504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106504/106504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106504 ÷ 217
    106504 ÷ 131072     		x = 0.81256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106504 ÷ 217
    106504 ÷ 131072     		y = 0.81256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81256103515625 × 2 - 1) × π
    0.6251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96387890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.6251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96387890363446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96387890} λ = 1.96387890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96387890363446))-π/2
    2×atan(0.140313102981791)-π/2
    2×0.139403012403683-π/2
    0.278806024807365-1.57079632675     		φ = -1.29199030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96387890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.521972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29199030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.025591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106504 KachelY 106504 1.96387890 -1.29199030 112.521972 -74.025591
    Oben rechts KachelX + 1 106505 KachelY 106504 1.96392684 -1.29199030 112.524719 -74.025591
    Unten links KachelX 106504 KachelY + 1 106505 1.96387890 -1.29200349 112.521972 -74.026347
    Unten rechts KachelX + 1 106505 KachelY + 1 106505 1.96392684 -1.29200349 112.524719 -74.026347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29199030--1.29200349) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29199030--1.29200349) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96387890-1.96392684) × cos(-1.29199030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275207977412371 × 6371000     		do = 84.0556001550214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96387890-1.96392684) × cos(-1.29200349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275195296724048 × 6371000     		du = 84.0517271464067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29199030)-sin(-1.29200349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275207977412371-0.275195296724048)×R²
    abs(1.96392684-1.96387890)×1.26806883229968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26806883229968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26806883229968e-05×40589641000000     		ar = 7063.32270402558m²