Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106512 / 106512
↖ ↑ ↗
← S 74.031637°
E112.543945°		 ← 84.02 m → S 74.031637°
E112.546692°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
S 74.032393°
E112.543945°		 ← 84.02 m →
7 061 m²		 S 74.032393°
E112.546692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812625885009766 y=0.812625885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812625885009766 × 217)
    floor (0.812625885009766 × 131072)
    floor (106512.5)     		tx = 106512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812625885009766 × 217)
    floor (0.812625885009766 × 131072)
    floor (106512.5)     		ty = 106512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106512 / 106512 ti = "17/106512/106512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106512/106512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106512 ÷ 217
    106512 ÷ 131072     		x = 0.8126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106512 ÷ 217
    106512 ÷ 131072     		y = 0.8126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96426240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96426240} λ = 1.96426240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96426239883142))-π/2
    2×atan(0.140259303897232)-π/2
    2×0.139350251662078-π/2
    0.278700503324156-1.57079632675     		φ = -1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96426240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106512 KachelY 106512 1.96426240 -1.29209582 112.543945 -74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 106513 KachelY 106512 1.96431034 -1.29209582 112.546692 -74.031637
    Unten links KachelX 106512 KachelY + 1 106513 1.96426240 -1.29210901 112.543945 -74.032393
    Unten rechts KachelX + 1 106513 KachelY + 1 106513 1.96431034 -1.29210901 112.546692 -74.032393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29209582--1.29210901) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29209582--1.29210901) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96426240-1.96431034) × cos(-1.29209582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 84.0246156766974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96426240-1.96431034) × cos(-1.29210901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275093849494063 × 6371000     		du = 84.0207425511176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29209582)-sin(-1.29210901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.275093849494063)×R²
    abs(1.96431034-1.96426240)×1.26810712804404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26810712804404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26810712804404e-05×40589641000000     		ar = 7060.71896508157m²