Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106528 / 106528
↖ ↑ ↗
← S 74.043723°
E112.587891°		 ← 83.96 m → S 74.043723°
E112.590637°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
S 74.044478°
E112.587891°		 ← 83.96 m →
7 050 m²		 S 74.044478°
E112.590637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812747955322266 y=0.812747955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812747955322266 × 217)
    floor (0.812747955322266 × 131072)
    floor (106528.5)     		tx = 106528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812747955322266 × 217)
    floor (0.812747955322266 × 131072)
    floor (106528.5)     		ty = 106528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106528 / 106528 ti = "17/106528/106528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106528/106528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106528 ÷ 217
    106528 ÷ 131072     		x = 0.812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106528 ÷ 217
    106528 ÷ 131072     		y = 0.812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96502939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96502939} λ = 1.96502939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96502938922534))-π/2
    2×atan(0.140151767603408)-π/2
    2×0.139244788519797-π/2
    0.278489577039594-1.57079632675     		φ = -1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96502939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106528 KachelY 106528 1.96502939 -1.29230675 112.587891 -74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 106529 KachelY 106528 1.96507733 -1.29230675 112.590637 -74.043723
    Unten links KachelX 106528 KachelY + 1 106529 1.96502939 -1.29231993 112.587891 -74.044478
    Unten rechts KachelX + 1 106529 KachelY + 1 106529 1.96507733 -1.29231993 112.590637 -74.044478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29230675--1.29231993) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dl = 83.9697799989487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29230675--1.29231993) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dr = 83.9697799989487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96502939-1.96507733) × cos(-1.29230675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 83.9626762160905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96502939-1.96507733) × cos(-1.29231993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.274891061223197 × 6371000     		du = 83.9588057934251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29230675)-sin(-1.29231993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.274891061223197)×R²
    abs(1.96507733-1.96502939)×1.26722216189923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26722216189923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26722216189923e-05×40589641000000     		ar = 7050.16495102387m²