Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 107 / 169
↖ ↑ ↗
← S 49.837983°
W 29.531250°		 ← 100.850 km → S 49.837983°
W 28.125000°		 →
↑
99.906 km
↓
↑
99.906 km
↓
S 50.736455°
W 29.531250°		 ← 98.963 km →
9 981.42 km²		 S 50.736455°
W 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419921875 y=0.662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419921875 × 28)
    floor (0.419921875 × 256)
    floor (107.5)     		tx = 107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662109375 × 28)
    floor (0.662109375 × 256)
    floor (169.5)     		ty = 169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 107 / 169 ti = "8/107/169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/107/169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107 ÷ 28
    107 ÷ 256     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 169 ÷ 28
    169 ÷ 256     		y = 0.66015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66015625 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00629139682422))-π/2
    2×atan(0.365572231021132)-π/2
    2×0.350479720227978-π/2
    0.700959440455956-1.57079632675     		φ = -0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107 KachelY 169 -0.51541754 -0.86983689 -29.531250 -49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 108 KachelY 169 -0.49087385 -0.86983689 -28.125000 -49.837983
    Unten links KachelX 107 KachelY + 1 170 -0.51541754 -0.88551819 -29.531250 -50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 108 KachelY + 1 170 -0.49087385 -0.88551819 -28.125000 -50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86983689--0.88551819) × R
    0.0156813 × 6371000     		dl = 99905.5623000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86983689--0.88551819) × R
    0.0156813 × 6371000     		dr = 99905.5623000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.49087385) × cos(-0.86983689) × R
    0.02454369 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 100849.63315391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.49087385) × cos(-0.88551819) × R
    0.02454369 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 98963.394861767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86983689)-sin(-0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.49087385--0.51541754)×0.0120628268811447×R²
    0.02454369×0.0120628268811447×6371000²
    0.02454369×0.0120628268811447×40589641000000     		ar = 9981420998.81267m²