Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 107 / 171
↖ ↑ ↗
← S 51.618016°
W 29.531250°		 ← 97.089 km → S 51.618016°
W 28.125000°		 →
↑
96.157 km
↓
↑
96.157 km
↓
S 52.482780°
W 29.531250°		 ← 95.228 km →
9 246.52 km²		 S 52.482780°
W 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419921875 y=0.669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419921875 × 28)
    floor (0.419921875 × 256)
    floor (107.5)     		tx = 107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669921875 × 28)
    floor (0.669921875 × 256)
    floor (171.5)     		ty = 171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 107 / 171 ti = "8/107/171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/107/171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107 ÷ 28
    107 ÷ 256     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 171 ÷ 28
    171 ÷ 256     		y = 0.66796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66796875 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05537878203516))-π/2
    2×atan(0.348060563245402)-π/2
    2×0.334945992344302-π/2
    0.669891984688605-1.57079632675     		φ = -0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107 KachelY 171 -0.51541754 -0.90090434 -29.531250 -51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 108 KachelY 171 -0.49087385 -0.90090434 -28.125000 -51.618016
    Unten links KachelX 107 KachelY + 1 172 -0.51541754 -0.91599732 -29.531250 -52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 108 KachelY + 1 172 -0.49087385 -0.91599732 -28.125000 -52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90090434--0.91599732) × R
    0.01509298 × 6371000     		dl = 96157.3755800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90090434--0.91599732) × R
    0.01509298 × 6371000     		dr = 96157.3755800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.49087385) × cos(-0.90090434) × R
    0.02454369 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 97089.003894097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.49087385) × cos(-0.91599732) × R
    0.02454369 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 95227.9940436225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90090434)-sin(-0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.49087385--0.51541754)×0.0119014865427581×R²
    0.02454369×0.0119014865427581×6371000²
    0.02454369×0.0119014865427581×40589641000000     		ar = 9246524429.57336m²