Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10751 / 14849
↖ ↑ ↗
← S 81.096615°
E 56.228027°		 ← 378.13 m → S 81.096615°
E 56.250000°		 →
↑
378.06 m
↓
↑
378.06 m
↓
S 81.100015°
E 56.228027°		 ← 377.99 m →
142 928 m²		 S 81.100015°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656219482421875 y=0.906341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656219482421875 × 214)
    floor (0.656219482421875 × 16384)
    floor (10751.5)     		tx = 10751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906341552734375 × 214)
    floor (0.906341552734375 × 16384)
    floor (14849.5)     		ty = 14849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10751 / 14849 ti = "14/10751/14849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10751/14849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10751 ÷ 214
    10751 ÷ 16384     		x = 0.65618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14849 ÷ 214
    14849 ÷ 16384     		y = 0.90631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.8126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55292752616571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98136421} λ = 0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55292752616571))-π/2
    2×atan(0.0778534141505227)-π/2
    2×0.0776966898682844-π/2
    0.155393379736569-1.57079632675     		φ = -1.41540295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41540295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.096615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10751 KachelY 14849 0.98136421 -1.41540295 56.228027 -81.096615
    Oben rechts KachelX + 1 10752 KachelY 14849 0.98174770 -1.41540295 56.250000 -81.096615
    Unten links KachelX 10751 KachelY + 1 14850 0.98136421 -1.41546229 56.228027 -81.100015
    Unten rechts KachelX + 1 10752 KachelY + 1 14850 0.98174770 -1.41546229 56.250000 -81.100015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41540295--1.41546229) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dl = 378.055139999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41540295--1.41546229) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dr = 378.055139999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(-1.41540295) × R
    0.000383490000000042 × 0.154768748145619 × 6371000     		do = 378.133294499202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(-1.41546229) × R
    0.000383490000000042 × 0.154710122877156 × 6371000     		du = 377.990060376227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41540295)-sin(-1.41546229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154768748145619-0.154710122877156)×R²
    abs(0.98174770-0.98136421)×5.86252684627309e-05×R²
    0.000383490000000042×5.86252684627309e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.86252684627309e-05×40589641000000     		ar = 142928.160433118m²