Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10751 / 2561
↖ ↑ ↗
← N 76.835813°
E 56.228027°		 ← 556.42 m → N 76.835813°
E 56.250000°		 →
↑
556.51 m
↓
↑
556.51 m
↓
N 76.830808°
E 56.228027°		 ← 556.63 m →
309 711 m²		 N 76.830808°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656219482421875 y=0.156341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656219482421875 × 214)
    floor (0.656219482421875 × 16384)
    floor (10751.5)     		tx = 10751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156341552734375 × 214)
    floor (0.156341552734375 × 16384)
    floor (2561.5)     		ty = 2561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10751 / 2561 ti = "14/10751/2561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10751/2561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10751 ÷ 214
    10751 ÷ 16384     		x = 0.65618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2561 ÷ 214
    2561 ÷ 16384     		y = 0.15631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15631103515625 × 2 - 1) × π
    0.6873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15946145408429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98136421} λ = 0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15946145408429))-π/2
    2×atan(8.66646910991964)-π/2
    2×1.45591712568351-π/2
    2.91183425136703-1.57079632675     		φ = 1.34103792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34103792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.835813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10751 KachelY 2561 0.98136421 1.34103792 56.228027 76.835813
    Oben rechts KachelX + 1 10752 KachelY 2561 0.98174770 1.34103792 56.250000 76.835813
    Unten links KachelX 10751 KachelY + 1 2562 0.98136421 1.34095057 56.228027 76.830808
    Unten rechts KachelX + 1 10752 KachelY + 1 2562 0.98174770 1.34095057 56.250000 76.830808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34103792-1.34095057) × R
    8.73500000000416e-05 × 6371000     		dl = 556.506850000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34103792-1.34095057) × R
    8.73500000000416e-05 × 6371000     		dr = 556.506850000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(1.34103792) × R
    0.000383490000000042 × 0.227742285699192 × 6371000     		do = 556.423320728733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(1.34095057) × R
    0.000383490000000042 × 0.227827339398414 × 6371000     		du = 556.631125184616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34103792)-sin(1.34095057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227742285699192-0.227827339398414)×R²
    abs(0.98174770-0.98136421)×8.50536992217377e-05×R²
    0.000383490000000042×8.50536992217377e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.50536992217377e-05×40589641000000     		ar = 309711.211983652m²