Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10751 / 6655
↖ ↑ ↗
← N 31.970804°
E 56.228027°		 ← 2 072.62 m → N 31.970804°
E 56.250000°		 →
↑
2 072.87 m
↓
↑
2 072.87 m
↓
N 31.952162°
E 56.228027°		 ← 2 073.04 m →
4 296 711 m²		 N 31.952162°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656219482421875 y=0.406219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656219482421875 × 214)
    floor (0.656219482421875 × 16384)
    floor (10751.5)     		tx = 10751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406219482421875 × 214)
    floor (0.406219482421875 × 16384)
    floor (6655.5)     		ty = 6655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10751 / 6655 ti = "14/10751/6655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10751/6655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10751 ÷ 214
    10751 ÷ 16384     		x = 0.65618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6655 ÷ 214
    6655 ÷ 16384     		y = 0.40618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40618896484375 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98136421} λ = 0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58943211772821))-π/2
    2×atan(1.80296425318754)-π/2
    2×1.0643960599381-π/2
    2.12879211987621-1.57079632675     		φ = 0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10751 KachelY 6655 0.98136421 0.55799579 56.228027 31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 10752 KachelY 6655 0.98174770 0.55799579 56.250000 31.970804
    Unten links KachelX 10751 KachelY + 1 6656 0.98136421 0.55767043 56.228027 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 10752 KachelY + 1 6656 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55799579-0.55767043) × R
    0.000325359999999941 × 6371000     		dl = 2072.86855999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55799579-0.55767043) × R
    0.000325359999999941 × 6371000     		dr = 2072.86855999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(0.55799579) × R
    0.000383490000000042 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 2072.62312658726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98136421-0.98174770) × cos(0.55767043) × R
    0.000383490000000042 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 2073.04391903731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55799579)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.848490246343458)×R²
    abs(0.98174770-0.98136421)×0.000172229004085978×R²
    0.000383490000000042×0.000172229004085978×6371000²
    0.000383490000000042×0.000172229004085978×40589641000000     		ar = 4296711.47745421m²