Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10754 / 2562
↖ ↑ ↗
← N 76.830808°
E 56.293945°		 ← 556.65 m → N 76.830808°
E 56.315918°		 →
↑
556.76 m
↓
↑
556.76 m
↓
N 76.825801°
E 56.293945°		 ← 556.85 m →
309 977 m²		 N 76.825801°
E 56.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656402587890625 y=0.156402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656402587890625 × 214)
    floor (0.656402587890625 × 16384)
    floor (10754.5)     		tx = 10754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156402587890625 × 214)
    floor (0.156402587890625 × 16384)
    floor (2562.5)     		ty = 2562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10754 / 2562 ti = "14/10754/2562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10754/2562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10754 ÷ 214
    10754 ÷ 16384     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2562 ÷ 214
    2562 ÷ 16384     		y = 0.1563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    0.687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15907795888733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15907795888733))-π/2
    2×atan(8.66314619784251)-π/2
    2×1.45587344849366-π/2
    2.91174689698732-1.57079632675     		φ = 1.34095057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34095057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10754 KachelY 2562 0.98251469 1.34095057 56.293945 76.830808
    Oben rechts KachelX + 1 10755 KachelY 2562 0.98289819 1.34095057 56.315918 76.830808
    Unten links KachelX 10754 KachelY + 1 2563 0.98251469 1.34086318 56.293945 76.825801
    Unten rechts KachelX + 1 10755 KachelY + 1 2563 0.98289819 1.34086318 56.315918 76.825801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34095057-1.34086318) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dl = 556.761690000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34095057-1.34086318) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dr = 556.761690000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98289819) × cos(1.34095057) × R
    0.000383499999999981 × 0.227827339398414 × 6371000     		do = 556.645640064321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98289819) × cos(1.34086318) × R
    0.000383499999999981 × 0.227912430306574 × 6371000     		du = 556.853540850772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34095057)-sin(1.34086318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227827339398414-0.227912430306574)×R²
    abs(0.98289819-0.98251469)×8.50909081595297e-05×R²
    0.000383499999999981×8.50909081595297e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.50909081595297e-05×40589641000000     		ar = 309976.843086807m²