Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10756 / 1540
↖ ↑ ↗
← N 81.079596°
E 56.337891°		 ← 378.85 m → N 81.079596°
E 56.359863°		 →
↑
378.95 m
↓
↑
378.95 m
↓
N 81.076188°
E 56.337891°		 ← 378.99 m →
143 591 m²		 N 81.076188°
E 56.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656524658203125 y=0.094024658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656524658203125 × 214)
    floor (0.656524658203125 × 16384)
    floor (10756.5)     		tx = 10756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094024658203125 × 214)
    floor (0.094024658203125 × 16384)
    floor (1540.5)     		ty = 1540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10756 / 1540 ti = "14/10756/1540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10756/1540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10756 ÷ 214
    10756 ÷ 16384     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1540 ÷ 214
    1540 ÷ 16384     		y = 0.093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093994140625 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55101005018091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55101005018091))-π/2
    2×atan(12.8200461352681)-π/2
    2×1.49295111361235-π/2
    2.9859022272247-1.57079632675     		φ = 1.41510590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41510590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.079596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10756 KachelY 1540 0.98328169 1.41510590 56.337891 81.079596
    Oben rechts KachelX + 1 10757 KachelY 1540 0.98366518 1.41510590 56.359863 81.079596
    Unten links KachelX 10756 KachelY + 1 1541 0.98328169 1.41504642 56.337891 81.076188
    Unten rechts KachelX + 1 10757 KachelY + 1 1541 0.98366518 1.41504642 56.359863 81.076188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41510590-1.41504642) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dl = 378.947080000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41510590-1.41504642) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dr = 378.947080000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98366518) × cos(1.41510590) × R
    0.000383490000000042 × 0.155062212075803 × 6371000     		do = 378.85028991376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98366518) × cos(1.41504642) × R
    0.000383490000000042 × 0.155120972373454 × 6371000     		du = 378.993853942045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41510590)-sin(1.41504642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155062212075803-0.155120972373454)×R²
    abs(0.98366518-0.98328169)×5.87602976509227e-05×R²
    0.000383490000000042×5.87602976509227e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.87602976509227e-05×40589641000000     		ar = 143591.412746611m²