Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10756 / 2564
↖ ↑ ↗
← N 76.820792°
E 56.337891°		 ← 557.05 m → N 76.820792°
E 56.359863°		 →
↑
557.14 m
↓
↑
557.14 m
↓
N 76.815782°
E 56.337891°		 ← 557.26 m →
310 413 m²		 N 76.815782°
E 56.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656524658203125 y=0.156524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656524658203125 × 214)
    floor (0.656524658203125 × 16384)
    floor (10756.5)     		tx = 10756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156524658203125 × 214)
    floor (0.156524658203125 × 16384)
    floor (2564.5)     		ty = 2564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10756 / 2564 ti = "14/10756/2564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10756/2564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10756 ÷ 214
    10756 ÷ 16384     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2564 ÷ 214
    2564 ÷ 16384     		y = 0.156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    0.68701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15831096849341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15831096849341))-π/2
    2×atan(8.65650419542927)-π/2
    2×1.45578604517058-π/2
    2.91157209034116-1.57079632675     		φ = 1.34077576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34077576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.820792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10756 KachelY 2564 0.98328169 1.34077576 56.337891 76.820792
    Oben rechts KachelX + 1 10757 KachelY 2564 0.98366518 1.34077576 56.359863 76.820792
    Unten links KachelX 10756 KachelY + 1 2565 0.98328169 1.34068831 56.337891 76.815782
    Unten rechts KachelX + 1 10757 KachelY + 1 2565 0.98366518 1.34068831 56.359863 76.815782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34077576-1.34068831) × R
    8.74500000000999e-05 × 6371000     		dl = 557.143950000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34077576-1.34068831) × R
    8.74500000000999e-05 × 6371000     		dr = 557.143950000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98366518) × cos(1.34077576) × R
    0.000383490000000042 × 0.227997548684014 × 6371000     		do = 557.046983028589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98366518) × cos(1.34068831) × R
    0.000383490000000042 × 0.228082694528292 × 6371000     		du = 557.255012614637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34077576)-sin(1.34068831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227997548684014-0.228082694528292)×R²
    abs(0.98366518-0.98328169)×8.51458442781838e-05×R²
    0.000383490000000042×8.51458442781838e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.51458442781838e-05×40589641000000     		ar = 310413.307871071m²