Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10759 / 2569
↖ ↑ ↗
← N 76.795721°
E 56.403809°		 ← 558.10 m → N 76.795721°
E 56.425781°		 →
↑
558.23 m
↓
↑
558.23 m
↓
N 76.790701°
E 56.403809°		 ← 558.31 m →
311 606 m²		 N 76.790701°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656707763671875 y=0.156829833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656707763671875 × 214)
    floor (0.656707763671875 × 16384)
    floor (10759.5)     		tx = 10759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156829833984375 × 214)
    floor (0.156829833984375 × 16384)
    floor (2569.5)     		ty = 2569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10759 / 2569 ti = "14/10759/2569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10759/2569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10759 ÷ 214
    10759 ÷ 16384     		x = 0.65667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2569 ÷ 214
    2569 ÷ 16384     		y = 0.15679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65667724609375 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15679931640625 × 2 - 1) × π
    0.6864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15639349250861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98443217} λ = 0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15639349250861))-π/2
    2×atan(8.6399214601014)-π/2
    2×1.45556725109101-π/2
    2.91113450218201-1.57079632675     		φ = 1.34033818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34033818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.795721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10759 KachelY 2569 0.98443217 1.34033818 56.403809 76.795721
    Oben rechts KachelX + 1 10760 KachelY 2569 0.98481567 1.34033818 56.425781 76.795721
    Unten links KachelX 10759 KachelY + 1 2570 0.98443217 1.34025056 56.403809 76.790701
    Unten rechts KachelX + 1 10760 KachelY + 1 2570 0.98481567 1.34025056 56.425781 76.790701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34033818-1.34025056) × R
    8.7619999999955e-05 × 6371000     		dl = 558.227019999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34033818-1.34025056) × R
    8.7619999999955e-05 × 6371000     		dr = 558.227019999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98443217-0.98481567) × cos(1.34033818) × R
    0.000383499999999981 × 0.228423581731685 × 6371000     		do = 558.102426137992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98443217-0.98481567) × cos(1.34025056) × R
    0.000383499999999981 × 0.228508884343658 × 6371000     		du = 558.310844175818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34033818)-sin(1.34025056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228423581731685-0.228508884343658)×R²
    abs(0.98481567-0.98443217)×8.53026119727041e-05×R²
    0.000383499999999981×8.53026119727041e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.53026119727041e-05×40589641000000     		ar = 311606.026687068m²