Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10760 / 14856
↖ ↑ ↗
← S 81.120389°
E 56.425781°		 ← 377.13 m → S 81.120389°
E 56.447754°		 →
↑
377.04 m
↓
↑
377.04 m
↓
S 81.123779°
E 56.425781°		 ← 376.99 m →
142 165 m²		 S 81.123779°
E 56.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656768798828125 y=0.906768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656768798828125 × 214)
    floor (0.656768798828125 × 16384)
    floor (10760.5)     		tx = 10760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906768798828125 × 214)
    floor (0.906768798828125 × 16384)
    floor (14856.5)     		ty = 14856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10760 / 14856 ti = "14/10760/14856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10760/14856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10760 ÷ 214
    10760 ÷ 16384     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14856 ÷ 214
    14856 ÷ 16384     		y = 0.90673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    -0.8134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55561199254443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55561199254443))-π/2
    2×atan(0.0776446995467744)-π/2
    2×0.0774892293466646-π/2
    0.154978458693329-1.57079632675     		φ = -1.41581787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41581787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.120389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10760 KachelY 14856 0.98481567 -1.41581787 56.425781 -81.120389
    Oben rechts KachelX + 1 10761 KachelY 14856 0.98519916 -1.41581787 56.447754 -81.120389
    Unten links KachelX 10760 KachelY + 1 14857 0.98481567 -1.41587705 56.425781 -81.123779
    Unten rechts KachelX + 1 10761 KachelY + 1 14857 0.98519916 -1.41587705 56.447754 -81.123779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41581787--1.41587705) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dl = 377.035780000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41581787--1.41587705) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dr = 377.035780000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98519916) × cos(-1.41581787) × R
    0.000383489999999931 × 0.154358814320269 × 6371000     		do = 377.131738114076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98519916) × cos(-1.41587705) × R
    0.000383489999999931 × 0.154300343330798 × 6371000     		du = 376.988880927816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41581787)-sin(-1.41587705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154358814320269-0.154300343330798)×R²
    abs(0.98519916-0.98481567)×5.84709894702051e-05×R²
    0.000383489999999931×5.84709894702051e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.84709894702051e-05×40589641000000     		ar = 142165.227949339m²