Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10760 / 3592
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
E 56.425781°		 ← 813.38 m → N 70.554179°
E 56.447754°		 →
↑
813.58 m
↓
↑
813.58 m
↓
N 70.546862°
E 56.425781°		 ← 813.68 m →
661 870 m²		 N 70.546862°
E 56.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656768798828125 y=0.219268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656768798828125 × 214)
    floor (0.656768798828125 × 16384)
    floor (10760.5)     		tx = 10760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219268798828125 × 214)
    floor (0.219268798828125 × 16384)
    floor (3592.5)     		ty = 3592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10760 / 3592 ti = "14/10760/3592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10760/3592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10760 ÷ 214
    10760 ÷ 16384     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3592 ÷ 214
    3592 ÷ 16384     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10760 KachelY 3592 0.98481567 1.23140272 56.425781 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 10761 KachelY 3592 0.98519916 1.23140272 56.447754 70.554179
    Unten links KachelX 10760 KachelY + 1 3593 0.98481567 1.23127502 56.425781 70.546862
    Unten rechts KachelX + 1 10761 KachelY + 1 3593 0.98519916 1.23127502 56.447754 70.546862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23127502) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dl = 813.5766999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23127502) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dr = 813.5766999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98519916) × cos(1.23140272) × R
    0.000383489999999931 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 813.383708987428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98519916) × cos(1.23127502) × R
    0.000383489999999931 × 0.333035763696768 × 6371000     		du = 813.677903462743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23127502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333035763696768)×R²
    abs(0.98519916-0.98481567)×0.000120412857895047×R²
    0.000383489999999931×0.000120412857895047×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120412857895047×40589641000000     		ar = 661869.709575339m²