Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10762 / 2570
↖ ↑ ↗
← N 76.790701°
E 56.469727°		 ← 558.30 m → N 76.790701°
E 56.491699°		 →
↑
558.42 m
↓
↑
558.42 m
↓
N 76.785679°
E 56.469727°		 ← 558.50 m →
311 821 m²		 N 76.785679°
E 56.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656890869140625 y=0.156890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656890869140625 × 214)
    floor (0.656890869140625 × 16384)
    floor (10762.5)     		tx = 10762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156890869140625 × 214)
    floor (0.156890869140625 × 16384)
    floor (2570.5)     		ty = 2570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10762 / 2570 ti = "14/10762/2570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10762/2570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10762 ÷ 214
    10762 ÷ 16384     		x = 0.6568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2570 ÷ 214
    2570 ÷ 16384     		y = 0.1568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6568603515625 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98558266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1568603515625 × 2 - 1) × π
    0.686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15600999731165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98558266} λ = 0.98558266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15600999731165))-π/2
    2×atan(8.63660872696856)-π/2
    2×1.45552344323951-π/2
    2.91104688647902-1.57079632675     		φ = 1.34025056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98558266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.469727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34025056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.790701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10762 KachelY 2570 0.98558266 1.34025056 56.469727 76.790701
    Oben rechts KachelX + 1 10763 KachelY 2570 0.98596615 1.34025056 56.491699 76.790701
    Unten links KachelX 10762 KachelY + 1 2571 0.98558266 1.34016291 56.469727 76.785679
    Unten rechts KachelX + 1 10763 KachelY + 1 2571 0.98596615 1.34016291 56.491699 76.785679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34025056-1.34016291) × R
    8.76499999999947e-05 × 6371000     		dl = 558.418149999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34025056-1.34016291) × R
    8.76499999999947e-05 × 6371000     		dr = 558.418149999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98558266-0.98596615) × cos(1.34025056) × R
    0.000383489999999931 × 0.228508884343658 × 6371000     		do = 558.296285874724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98558266-0.98596615) × cos(1.34016291) × R
    0.000383489999999931 × 0.228594214406961 × 6371000     		du = 558.504765547419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34025056)-sin(1.34016291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228508884343658-0.228594214406961)×R²
    abs(0.98596615-0.98558266)×8.53300633035514e-05×R²
    0.000383489999999931×8.53300633035514e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.53300633035514e-05×40589641000000     		ar = 311820.988726966m²