Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10767 / 2575
↖ ↑ ↗
← N 76.765572°
E 56.579590°		 ← 559.35 m → N 76.765572°
E 56.601563°		 →
↑
559.44 m
↓
↑
559.44 m
↓
N 76.760541°
E 56.579590°		 ← 559.56 m →
312 982 m²		 N 76.760541°
E 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657196044921875 y=0.157196044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657196044921875 × 214)
    floor (0.657196044921875 × 16384)
    floor (10767.5)     		tx = 10767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157196044921875 × 214)
    floor (0.157196044921875 × 16384)
    floor (2575.5)     		ty = 2575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10767 / 2575 ti = "14/10767/2575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10767/2575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10767 ÷ 214
    10767 ÷ 16384     		x = 0.65716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2575 ÷ 214
    2575 ÷ 16384     		y = 0.15716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65716552734375 × 2 - 1) × π
    0.3143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98750013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15716552734375 × 2 - 1) × π
    0.6856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15409252132684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98750013} λ = 0.98750013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15409252132684))-π/2
    2×atan(8.62006410417206)-π/2
    2×1.45530415848674-π/2
    2.91060831697349-1.57079632675     		φ = 1.33981199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98750013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.579590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33981199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.765572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10767 KachelY 2575 0.98750013 1.33981199 56.579590 76.765572
    Oben rechts KachelX + 1 10768 KachelY 2575 0.98788363 1.33981199 56.601563 76.765572
    Unten links KachelX 10767 KachelY + 1 2576 0.98750013 1.33972418 56.579590 76.760541
    Unten rechts KachelX + 1 10768 KachelY + 1 2576 0.98788363 1.33972418 56.601563 76.760541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33981199-1.33972418) × R
    8.78100000001325e-05 × 6371000     		dl = 559.437510000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33981199-1.33972418) × R
    8.78100000001325e-05 × 6371000     		dr = 559.437510000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98750013-0.98788363) × cos(1.33981199) × R
    0.000383499999999981 × 0.228935828593116 × 6371000     		do = 559.353987881217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98750013-0.98788363) × cos(1.33972418) × R
    0.000383499999999981 × 0.229021305609969 × 6371000     		du = 559.56283203874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33981199)-sin(1.33972418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228935828593116-0.229021305609969)×R²
    abs(0.98788363-0.98750013)×8.54770168536578e-05×R²
    0.000383499999999981×8.54770168536578e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.54770168536578e-05×40589641000000     		ar = 312982.020017933m²