Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10768 / 1552
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
E 56.601563°		 ← 380.58 m → N 81.038617°
E 56.623535°		 →
↑
380.67 m
↓
↑
380.67 m
↓
N 81.035194°
E 56.601563°		 ← 380.72 m →
144 900 m²		 N 81.035194°
E 56.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657257080078125 y=0.094757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657257080078125 × 214)
    floor (0.657257080078125 × 16384)
    floor (10768.5)     		tx = 10768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094757080078125 × 214)
    floor (0.094757080078125 × 16384)
    floor (1552.5)     		ty = 1552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10768 / 1552 ti = "14/10768/1552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10768/1552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10768 ÷ 214
    10768 ÷ 16384     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1552 ÷ 214
    1552 ÷ 16384     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10768 KachelY 1552 0.98788363 1.41439069 56.601563 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 10769 KachelY 1552 0.98826712 1.41439069 56.623535 81.038617
    Unten links KachelX 10768 KachelY + 1 1553 0.98788363 1.41433094 56.601563 81.035194
    Unten rechts KachelX + 1 10769 KachelY + 1 1553 0.98826712 1.41433094 56.623535 81.035194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41433094) × R
    5.97500000001361e-05 × 6371000     		dl = 380.667250000867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41433094) × R
    5.97500000001361e-05 × 6371000     		dr = 380.667250000867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98826712) × cos(1.41439069) × R
    0.000383490000000042 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 380.576469065129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98826712) × cos(1.41433094) × R
    0.000383490000000042 × 0.155827752068705 × 6371000     		du = 380.720668546755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41433094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155827752068705)×R²
    abs(0.98826712-0.98788363)×5.90203866709105e-05×R²
    0.000383490000000042×5.90203866709105e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.90203866709105e-05×40589641000000     		ar = 144900.443947758m²