Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10768 / 2544
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 56.601563°		 ← 552.90 m → N 76.920614°
E 56.623535°		 →
↑
553 m
↓
↑
553 m
↓
N 76.915640°
E 56.601563°		 ← 553.11 m →
305 813 m²		 N 76.915640°
E 56.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657257080078125 y=0.155303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657257080078125 × 214)
    floor (0.657257080078125 × 16384)
    floor (10768.5)     		tx = 10768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155303955078125 × 214)
    floor (0.155303955078125 × 16384)
    floor (2544.5)     		ty = 2544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10768 / 2544 ti = "14/10768/2544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10768/2544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10768 ÷ 214
    10768 ÷ 16384     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2544 ÷ 214
    2544 ÷ 16384     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10768 KachelY 2544 0.98788363 1.34251797 56.601563 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 10769 KachelY 2544 0.98826712 1.34251797 56.623535 76.920614
    Unten links KachelX 10768 KachelY + 1 2545 0.98788363 1.34243117 56.601563 76.915640
    Unten rechts KachelX + 1 10769 KachelY + 1 2545 0.98826712 1.34243117 56.623535 76.915640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34243117) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dl = 553.002800000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34243117) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dr = 553.002800000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98826712) × cos(1.34251797) × R
    0.000383490000000042 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 552.901657889023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98826712) × cos(1.34243117) × R
    0.000383490000000042 × 0.226385427695245 × 6371000     		du = 553.108225185558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34243117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226385427695245)×R²
    abs(0.98826712-0.98788363)×8.45473338573766e-05×R²
    0.000383490000000042×8.45473338573766e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.45473338573766e-05×40589641000000     		ar = 305813.281276357m²