Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10769 / 2577
↖ ↑ ↗
← N 76.755508°
E 56.623535°		 ← 559.77 m → N 76.755508°
E 56.645508°		 →
↑
559.82 m
↓
↑
559.82 m
↓
N 76.750473°
E 56.623535°		 ← 559.98 m →
313 430 m²		 N 76.750473°
E 56.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657318115234375 y=0.157318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657318115234375 × 214)
    floor (0.657318115234375 × 16384)
    floor (10769.5)     		tx = 10769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157318115234375 × 214)
    floor (0.157318115234375 × 16384)
    floor (2577.5)     		ty = 2577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10769 / 2577 ti = "14/10769/2577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10769/2577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10769 ÷ 214
    10769 ÷ 16384     		x = 0.65728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2577 ÷ 214
    2577 ÷ 16384     		y = 0.15728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65728759765625 × 2 - 1) × π
    0.3145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98826712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15728759765625 × 2 - 1) × π
    0.6854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15332553093292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98826712} λ = 0.98826712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15332553093292))-π/2
    2×atan(8.61345513264201)-π/2
    2×1.45521632991337-π/2
    2.91043265982673-1.57079632675     		φ = 1.33963633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98826712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33963633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.755508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10769 KachelY 2577 0.98826712 1.33963633 56.623535 76.755508
    Oben rechts KachelX + 1 10770 KachelY 2577 0.98865062 1.33963633 56.645508 76.755508
    Unten links KachelX 10769 KachelY + 1 2578 0.98826712 1.33954846 56.623535 76.750473
    Unten rechts KachelX + 1 10770 KachelY + 1 2578 0.98865062 1.33954846 56.645508 76.750473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33963633-1.33954846) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dl = 559.819769999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33963633-1.33954846) × R
    8.78699999999899e-05 × 6371000     		dr = 559.819769999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98826712-0.98865062) × cos(1.33963633) × R
    0.000383499999999981 × 0.229106819796984 × 6371000     		do = 559.771767013317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98826712-0.98865062) × cos(1.33954846) × R
    0.000383499999999981 × 0.229192351683461 × 6371000     		du = 559.980745232612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33963633)-sin(1.33954846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229106819796984-0.229192351683461)×R²
    abs(0.98865062-0.98826712)×8.55318864775023e-05×R²
    0.000383499999999981×8.55318864775023e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.55318864775023e-05×40589641000000     		ar = 313429.797132753m²