Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10783 / 2593
↖ ↑ ↗
← N 76.674722°
E 56.931153°		 ← 563.11 m → N 76.674722°
E 56.953125°		 →
↑
563.26 m
↓
↑
563.26 m
↓
N 76.669656°
E 56.931153°		 ← 563.32 m →
317 237 m²		 N 76.669656°
E 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658172607421875 y=0.158294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658172607421875 × 214)
    floor (0.658172607421875 × 16384)
    floor (10783.5)     		tx = 10783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158294677734375 × 214)
    floor (0.158294677734375 × 16384)
    floor (2593.5)     		ty = 2593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10783 / 2593 ti = "14/10783/2593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10783/2593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10783 ÷ 214
    10783 ÷ 16384     		x = 0.65814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2593 ÷ 214
    2593 ÷ 16384     		y = 0.15826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65814208984375 × 2 - 1) × π
    0.3162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99363606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15826416015625 × 2 - 1) × π
    0.6834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14718960778156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99363606} λ = 0.99363606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14718960778156))-π/2
    2×atan(8.56076544911668)-π/2
    2×1.45451133596676-π/2
    2.90902267193353-1.57079632675     		φ = 1.33822635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99363606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.931153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33822635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.674722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10783 KachelY 2593 0.99363606 1.33822635 56.931153 76.674722
    Oben rechts KachelX + 1 10784 KachelY 2593 0.99401955 1.33822635 56.953125 76.674722
    Unten links KachelX 10783 KachelY + 1 2594 0.99363606 1.33813794 56.931153 76.669656
    Unten rechts KachelX + 1 10784 KachelY + 1 2594 0.99401955 1.33813794 56.953125 76.669656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33822635-1.33813794) × R
    8.84100000000387e-05 × 6371000     		dl = 563.260110000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33822635-1.33813794) × R
    8.84100000000387e-05 × 6371000     		dr = 563.260110000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99363606-0.99401955) × cos(1.33822635) × R
    0.000383489999999931 × 0.230479067951438 × 6371000     		do = 563.109867604266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99363606-0.99401955) × cos(1.33813794) × R
    0.000383489999999931 × 0.23056509681319 × 6371000     		du = 563.320054591667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33822635)-sin(1.33813794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230479067951438-0.23056509681319)×R²
    abs(0.99401955-0.99363606)×8.60288617527682e-05×R²
    0.000383489999999931×8.60288617527682e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.60288617527682e-05×40589641000000     		ar = 317236.521147942m²