Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10784 / 1568
↖ ↑ ↗
← N 80.983688°
E 56.953125°		 ← 382.90 m → N 80.983688°
E 56.975098°		 →
↑
382.96 m
↓
↑
382.96 m
↓
N 80.980244°
E 56.953125°		 ← 383.05 m →
146 663 m²		 N 80.980244°
E 56.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658233642578125 y=0.095733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658233642578125 × 214)
    floor (0.658233642578125 × 16384)
    floor (10784.5)     		tx = 10784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095733642578125 × 214)
    floor (0.095733642578125 × 16384)
    floor (1568.5)     		ty = 1568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10784 / 1568 ti = "14/10784/1568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10784/1568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10784 ÷ 214
    10784 ÷ 16384     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1568 ÷ 214
    1568 ÷ 16384     		y = 0.095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095703125 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54027218466602))-π/2
    2×atan(12.6831226525684)-π/2
    2×1.49211416408574-π/2
    2.98422832817148-1.57079632675     		φ = 1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10784 KachelY 1568 0.99401955 1.41343200 56.953125 80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 10785 KachelY 1568 0.99440305 1.41343200 56.975098 80.983688
    Unten links KachelX 10784 KachelY + 1 1569 0.99401955 1.41337189 56.953125 80.980244
    Unten rechts KachelX + 1 10785 KachelY + 1 1569 0.99440305 1.41337189 56.975098 80.980244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41343200-1.41337189) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dl = 382.96080999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41343200-1.41337189) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dr = 382.96080999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99440305) × cos(1.41343200) × R
    0.000383499999999981 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 382.899972774058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99440305) × cos(1.41337189) × R
    0.000383499999999981 × 0.156775014738822 × 6371000     		du = 383.045022848528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41343200)-sin(1.41337189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.156775014738822)×R²
    abs(0.99440305-0.99401955)×5.93669835307342e-05×R²
    0.000383499999999981×5.93669835307342e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.93669835307342e-05×40589641000000     		ar = 146663.458012837m²